Геометрическая вероятность.

Если опыт имеет бесконечное число исходов, то применять формулу классической вероятности нельзя.

Пример 6: На отрезок прямой [0; 5] наудачу ставится точка. Какова вероятность того, что она попадет в отрезок [1; 2]?

Отрезок [1; 2] включается в отрезок [0; 5]. Вероятность попадания точки на отрезок [1; 2] пропорциональна его длине и может быть найдена как отношение длин этих отрезков:

.

При обобщении этого результата используется понятие меры пространства n измерений. N-мерное пространство обозначим , произвольную область данного пространства - Считаем, что на задана определенным образом мера области: . Например, для ,множества точек прямой, мера – длина отрезка, для , множество точек плоскости, мера – площадь фигуры, для , множество точек пространства, мера– объем тела.

Пусть в области выделяется часть , и в области наудачу выбирается точка. Какова вероятность того, что эта точка попадет в область

Если предположить, что попадание точки в область, пропорциональной только ее мере, получаем:

Данную формулу называют формулой геометрической вероятности.

Использование геометрической вероятности обосновано тогда, когда пространство элементарных событий бесконечно и может быть описано с помощью геометрических величин.

Пример 7. Из отрезка [0, 1] наудачу выбраны два числа х и у. Найдите вероятность того, что эти числа удовлетворяют неравенствам х > 2у.

Решение. Выбор пары чисел можно интерпретировать как выбор точки на плоскости. По условиям опыта координаты точки (х, у) удовлетворяют системе неравенств .

Это значит, что точка (х, у) наудачу выбирается из множества точек единичного квадрата, пространство элементарных событий бесконечно и геометрически представлено множеством точек квадрата. Элементарные события, при которых наступает событие А- « х > у» соответствуют точкам заштрихованного треугольника (рис.1 ).

Рис.1.

Следовательно, искомая вероятность равна отношению площади заштрихованного треугольника ( ) к площади квадрата ( ):