Исследование устойчивости САУ с помощью критерия Найквиста

Критерий Найквиста относится к частотным критериям устойчивости, был разработан американским ученым Г. Найквистом в 1932 году и позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по виду АФЧХ разомкнутой системы.

Рассмотрим систему

Рис.1.

Здесь - передаточная функция разомкнутой системы. Тогда передаточная функция замкнутой системы имеет вид

. (1)

Приравняв знаменатель нулю, получим характеристическое уравнение замкнутой системы

. (2) Обозначим

. (3)

Представим передаточную функцию разомкнутой системы в виде отношения двух полиномов

, (4)

где - характеристический полином степени разомкнутой системы, - полином степени . Тогда

. (5)

Заметим, что в этом выражении степени полиномов числителя и знаменателя одинаковы и равны .

Пусть , тогда

. (6)

Предположим, что разомкнутая система неустойчива и ее характеристическое уравнение имеет правых и левых корней. Будем также предполагать, что замкнутая система неустойчива и имеет правых и левых корней. Тогда на основании принципа аргумента можно утверждать, что при изменении частоты от до изменение аргумента составит

. (7)

Для того, чтобы замкнутая система была устойчивой необходимо и достаточно, чтобы все корни ее характеристического уравнения были левыми, то есть . В этом случае

. (8)

Так как в соответствии с выражением (3) функции и отличаются на единицу, то поворот вектора вокруг начала координат соответствует повороту вектора вокруг точки .

Дадим теперь следующую формулировку критерия устойчивости Найквиста. Для того, чтобы замкнутая система была устойчивой при неустойчивой разомкнутой системе необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы при изменении частоты от до охватывала точку в положительном направлении (против часовой стрелки) раз, где - число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы.

На Рис. 4.3 изображена АФЧХ устойчивой системы в замкнутом состоянии, которая в разомкнутом состоянии была неустойчива и имела два правых корня.

Рис. 4.2.

На практике обычно дается следующая формулировка критерия Найквиста. Если разомкнутая САУ устойчива, то замкнутая система будет устойчива , если АФЧХ разомкнутой системы не охватывает точку с координатами .

Рис. 4.3. АФЧХ устойчивой системы

Рис. 4.4. АФЧХ неустойчивой системы

Если проходит через точку , то САУ находится на границе устойчивости .

Рассмотренные выше АФЧХ относятся к статическим САУ . У астатических систем, содержащих интегрирующие звенья, АФЧХ при стремиться к бесконечности и , следовательно , не образует замкнутого контура. Для того, чтобы определить устойчивость астатической замкнутой САУ необходимо построить АФЧХ разомкнутой системы при , дополнить ее дугой , (где - порядок астатизма ) окружности бесконечно большого радиуса и затем применять критерий устойчивости Найквиста.

Рис. 4.5.

На Рис. 4.5 приведена АФЧХ разомкнутой устойчивой системы с астатизмом первого порядка. Замкнутая система в этом случае также устойчива . На Рис. 4.6 показана АФЧХ разомкнутой неустойчивой системы с астатизмом второго порядка . Для этого случая замкнутая система неустойчива, так как точка с координатами охватывается АФЧХ, дополненной дугой бесконечно большого радиуса в отрицательном направлении.

Рис.4.6.

На практике широкое применение получил критерий устойчивости Найквиста с применением вместо АФЧХ логарифмических амплитудно-частотных характеристик.

Рис. 4.7.

Устойчивость САУ связана с числом пересечений АФЧХ отрезка отрицательной вещественной полуоси (Рис.4.7). Когда АФЧХ пересекает эту полуось, ЛФЧХ пересекает одну из линий , где (Рис.4.8).

Рис.4.8.

Если пересечения указанных линий происходят справа от точки , то они не влияют на устойчивость САУ, если при этом и, следовательно, . Поэтому область отрицательных ЛАЧХ при исследовании устойчивости не рассматривается. Интерес представляет только область положительных ЛАЧХ.

Сформулируем критерий Найквиста. Для того, чтобы замкнутая САУ была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы разность между числом положительных (на Рис.4.8 сверху вниз) и отрицательных переходов (снизу вверх) ЛЧХ прямой , где i=0,1,2, ... в области , была равна , где - число правых корней характеристики уравнения разомкнутой САУ.

Если разомкнутая система устойчива, то и замкнутая система будет устойчивой (Рис.4.7 и 4.8), так как . Запасы устойчивости по амплитуде равны и , и по фазе .