Исследование линейных систем на устойчивость с помощью
Критерия Михайлова
Критерий устойчивости Михайлова относится к частотным критериям в основе которых лежит принцип аргумента, заключающийся в следующем. Известно, что характеристический полином системы
(1)
может быть представлен в виде
, (2)
где - корни характеристического уравнения
. (3)
Рассмотрим -й сомножитель в (2) и представим его на комплексной плоскости. Корень может быть изображен в виде вектора, проведенного из начала координат в точку , причем длина вектора равна его модулю, то есть , а угол, образованный с положительным направлением действительной оси - аргументу комплексного числа , то есть (Рис.1).
Рис.1.
Аналогично на комплексной плоскости может быть изображен и вектор , проведенный в произвольную точку этой плоскости. Тогда сомножитель представим в виде разности двух рассмотренных векторов. В частном случае при , где представляет собой частоту колебаний, соответствующих мнимому корню характеристического уравнения, характеристический полином примет вид
. (4)
Тогда концы векторов будут располагаться на мнимой оси в точке (Рис.2).
Рис.2.
Необходимо отметить, что в (4) представляет собой вектор, модуль которого равен
, (5)
и аргумент
. (6)
При изменении частоты каждый элементарный вектор в (4) будет поворачиваться, изменяя и модуль в соответствии с (5) и фазу (аргумент) в соответствии с (6). Считая поворот вектора против часовой стрелки положительным, при изменении от до каждый элементарный вектор в (4) повернется на угол + , если его начало координат, то есть корень , расположено слева от мнимой оси, и на угол - , если корень расположен справа от мнимой оси. Такой поворот элементарных векторов и изображен на Рис.3.
Рис.3.
Если характеристический полином имеет правых и левых корней, то при изменении от до вектор повернется на угол, равный сумме поворотов элементарных векторов , то есть изменение аргумента равно
. (7)
Сформулируем принцип аргумента: изменение аргумента при изменении частоты от до равно разности между числом левых и правых корней характеристического уравнения, умноженной на .
При изменении от 0 до изменение аргумента вектора будет вдвое меньше
. (8)
В 1936 г. на основании принципа аргумента (8) А.В. Михайловым был сформулирован следующий критерий устойчивости: для того чтобы система - го порядка была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы вектор , описывающий кривую Михайлова, при изменении частоты от 0 до повернулся вокруг начала координат против часовой стрелки, нигде не обращаясь в 0 на угол .
Заметим, что кривая (годограф) Михайлова для устойчивых систем всегда должна начинаться на вещественной положительной полуоси, поскольку при и из (1) следует, что на основании необходимого условия устойчивости.
Для построения кривой Михайлова необходимо представить характеристический полином в виде
,
где - вещественная, а - мнимая функции Михайлова и строить кривую Михайлова на комплексной плоскости с осью ординат и осью абсцисс .
Для устойчивых систем кривая Михайлова имеет плавную спиралевидную форму и уходит в бесконечность в том квадранте координатной плоскости, номер которого равен порядку характеристического уравнения. На Рис.4 изображены кривые Михайлова, соответствующие устойчивым системам, а на Рис.5 - кривые неустойчивых систем.
Рис.4.
Рис.5.
Дата добавления: 2019-12-09; просмотров: 682;