Ограниченные и неограниченные функции. Монотонные функции

Определение 1. Функция , заданная на множестве Х, называется ограниченной сверху на этом множестве, если существует число М, такое, что . Функция , заданная на множестве Х, называется ограниченной снизу на этом множестве, если существует число М, такое, что . Функция , заданная на множестве Х, называется ограниченной на этом множестве, если существуют числа и , такие, что .

Иными словами, функция ограничена на множестве Х, если на этом множестве она ограничена и сверху, и снизу.

Например, функция ограничена сверху на множестве R, так как , функция ограничена снизу на R, так как , функция ограничена на R, так как . Ограниченными являются также функции и , так как .

Свойства ограниченных функций:

1) если функции f и g ограничены на множестве Х, то и функции и тоже ограничены на множестве Х;

2) если функция ограничена сверху, то функция ограничена снизу;

3) если функция положительна на множестве Х и ограничена на нем снизу положительным числом, то функция ограничена на Х.

Доказательство. 1) В силу ограниченности функций f и g на множестве Х найдутся числа и , и , такие, что и . А тогда и - ограниченные на Х функции. Чтобы доказать ограниченность функции , положим . Тогда имеют место неравенства и , из которых следует, что , а это и означает ограниченность функции .

2) В силу ограниченности функции f сверху найдется число М, такое, что . Тогда , что и означает ограниченность функции снизу.

3) По условию , поэтому ограниченность функции .

Например, функция ограничена на множестве R действительных чисел, так как .

Чтобы дать определение неограниченной сверху или снизу функции, нужно сформулировать отрицание соответствующей части определения 1.

Определение 2. Функция называется неограниченной сверху на множестве Х, если не существует числа М, такого, что для любого , то есть для любого числа М найдется число , такое, что .

Функция называется неограниченной снизу на множестве Х, если для любого числа М найдется число , такое, что .

Докажем, например, что функция неограниченна на множестве сверху. Возьмем произвольное число и покажем, что , такое, что .

Для этого, очевидно, достаточно взять , например, .

Если функция ограничена на множестве Х, то множество ограничено, поэтому имеет точную верхнюю и точную нижнюю границы. Их обозначают и соответственно и называют точной верхней границей и точной нижней границей функции на множестве Х.

Определение 3. а) Функция называется возрастающей на множестве Х, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции, т.е. , таких, что , имеем .

б) Функция называется убывающей на множестве Х, если .

в) Функция называется неубывающей на множестве Х, если .

г) Функция называется невозрастающей на множестве Х, если .

Возрастающие, убывающие, неубывающие, невозрастающие функции называются монотонными, возрастающие и убывающие – строго монотонными функциями.

При исследовании функций на монотонность полезны следующие утверждения.

Теорема. а) Если функции f и g возрастают (убывают) на множестве Х, то и функция f+g возрастает (убывает) на Х.

б) Если на множестве Х, то на Х.

в) Если функции f и g неотрицательны на множестве Х и возрастают (убывают) на этом множестве, то их произведение на Х.

г) Если функция f положительна на множестве Х и возрастает (убывает), то на Х.

д) Если функция на множестве Х, а функция на множестве , то функция на множестве Х.

Доказательство. Докажем, например, а) и д).

а) Пусть функции f и g возрастают на множестве Х и , причем . Тогда и поскольку неравенства одинакового смысла можно складывать, то , т.е. функция f+g возрастает.

д) Пусть функция убывает на множестве Х, а функция убывает на множестве , , причем . Тогда и, так как , т.е. функция возрастает на множестве Х.

Остальные утверждения теоремы доказать самостоятельно.

Теорема доказана.

Отметим, что прибавление постоянной величины к функции и умножение функции на положительную постоянную величину не меняет характера монотонности.

Пример. Докажем, что функции и возрастают на промежутке .

Доказательство. Функция возрастает на промежутке . Тогда по свойству в) и на , и , поэтому по свойству а) возрастает и функция .

Для функции доказательство проведем методом от противного. Пусть . Предположим противное, т.е. что . Тогда, в силу возрастания функции , , т.е. , что противоречит неравенству . Из полученного противоречия следует, что , т.е. функция возрастает на промежутке .