Условия эквивалентности импульсных и непрерывных САУ

Рассмотрим разомкнутую импульсную систему, приведенную на рис. 1.5, б, передаточная функция ЭЛНЧ которой имеет вид . Передаточная функция импульсной системы будет , а частотная характеристика . Существует связь между частотными характеристиками ЭЛНЧ и частотной характеристикой импульсной системы , которая имеет вид [4]:

, (1.68)

где, как и ранее, - частота дискретизации.

Итак, характеристика получается суммированием смещенных относительно друг друга вдоль оси на частоту повторения характеристик ЭЛНЧ, умноженных на . Из (1.68) вещественные и мнимые части частотных характеристик

,

(1.69)

.

Предположим, что вещественная и мнимая частотные характеристики заданы на интервале частоты от до ( - полоса пропускания) и вне этого интервала равны нулю, а спектральные характеристики входного сигнала определены на некотором интервале и равны нулю вне этого интервала. В этом случае, если , справедливо следующее соотношение

. (1.70)

Итак, при выполнении условия импульсная система с передаточной функцией преобразует входной сигнал точно так же, как некоторая непрерывная система с передаточной функцией .

Фактически сформулирован аналог известной теоремы Котельникова: если спектр частот входного воздействия ограничен и лежит в диапазоне частот , то свойство системы с АИМ, у которой тождественны свойствам эквивалентной непрерывной системы с АФЧХ .

Частотные характеристики входного сигнала и системы на практике реально не ограничены по частоте величинами и ,и можно говорить лишь об их малости при и . Поэтому на практике условие сведения системы с АИМ к соответствующей непрерывной системе обычно ужесточают и требуют, чтобы

, (1.71)

где – частота, характеризующая полосу пропускания ЭЛНЧ.

Для проверки выполнения (1.71) следует построить и найти . Иногда вместо (1.71) легче воспользоваться другой более простой рекомендацией [6]:

, (1.72)

где – максимальная постоянная времени передаточной функции .

Использование в качестве эквивалентной передаточной функции неудобно из-за присутствия в ней передаточной функции формирующего устройства, АФЧХ которого имеет вид

.

АЧХ и ФЧХ фиксирующего устройства будут:

, .

Соответственно АФЧХ эквивалентной непрерывной системы

. (1.73)

В основном методы анализа непрерывных линейных систем управления разработаны для случая, когда передаточная функция разомкнутой системы является дробно-рациональной относительно . Поэтому непосредственное исследование передаточной функции

, (1.74)

и частотных характеристик разомкнутой системы (1.73) затруднительно.

Рассмотрим возможные варианты дальнейшего упрощения моделей импульсных систем.

Если полагать в (1.73) , то и , а (1.74) превратится в следующее выражение:

. (1.75)

И, наконец, наиболее простой вид модель приобретает при условии, когда мало:

, (1.76)

т.е. практически с точностью до множителя передаточные функции и совпадают. Очевидно, при все сказанное соответствует случаю, когда формирующее устройство является фиксатором нулевого порядка.

Для всех трех эквивалентных моделей (1.74), (1.75), (1.76) характерно то, что они тем более близки к исходной импульсной системе, чем ниже диапазон рассматриваемых частот, т.е. справедливы в низкочастотной области. Модель (1.74) более точная, но неудобная, модель (1.76) менее точная из всех трех типов.

Пример 1.11. Пусть . В примерах 1.3 и 1.7 получена передаточная функция разомкнутой системы , , . Передаточная функция замкнутой системы .

Далее будем рассматривать для наглядности случай , . В примерах 1.3 и 1.7 получены следующие результаты при анализе импульсной системы:

– область устойчивости

;

– процессы будут носить монотонный характер , если

;

– процессы будут носить колебательный характер , если

;

– переходная функция имеет вид

. (1.77)

Основные выводы: в системе могут при определенных параметрах существовать как монотонные, так и колебательные процессы; коэффициент усиления ограничен из условия устойчивости и не может быть сделан сколь угодно большим.

Вместо импульсной системы рассмотрим эквивалентную непрерывную систему с передаточной функцией вида (1.76). Так как в нашем примере , то имеем . Вид переходного процесса в замкнутой системе будет

, (1.78)

а условие устойчивости: .

Итак, коэффициент можно увеличивать до любого значения без потери устойчивости, а процессы (1.78) всегда будут монотонными.

Для дискретных моментов времени выражение (1.78) приобретает вид:

. (1.79)

Очевидно, чем ближе величины и , тем процессы будут ближе между собой. Так как , , то разлагая функции и в ряд Тейлора относительно и ограничиваясь линейными членами, получим

,

.

Итак, при малых процессы в обеих системах идентичны и имеют монотонный характер.

Однако, например, при и процесс в дискретной системе (1.77) будет , а в соответствующей непрерывной системе (1.79) , т.е. эти процессы совершенно различны.

Рассмотрим второй случай замены импульсной системы непрерывной с передаточной функцией (1.75). Для нашего случая и

.

Передаточная функция замкнутой системы будет

.

В этом случае приходим к системе автоматического управления с запаздыванием.

Уравнение, связывающее вход и выход системы, будет иметь вид

и является дифференциально-разностным. При оно превращается в дифференциальное.

Условие устойчивости для такой системы

.

Здесь опять имеем ограничения на коэффициент усиления из условий устойчивости, как и в исходной импульсной системе.

Наконец, замена импульсной системы непрерывной с передаточной функцией (1.74) приводит нас в данном случае к дифференциально-разностному уравнению второго порядка

, .