Уравнения состояния линейных импульсных систем

Так же как и непрерывные системы [1], импульсные можно описывать с помощью векторно-матричных уравнений, называемых уравнениями состояния.

Уравнениями состояния линейной импульсной системы называются уравнения вида

(1.80)

где − вектор состояния системы, − векторвхода системы, − вектор выхода системы, − основная матрица системы размерности , − матрица входа системы размерности , − матрица выхода системы размерности , − дискретное время.

Первое уравнение в (1.80)− уравнение входа системы, второе − уравнение выхода. Уравнениями (1.80) описываются как многомерные системы, когда , − вектора, так и одномерные системы, когда , − скалярные величины.

Рассмотрим методику получения уравнений (1.80) для разомкнутой импульсной системы, изображенной на рис. 1.4. Вход и выход линейного непрерывного звена с передаточной функцией можно описать с помощью уравнений состояния [1]:

(1.81)

где коэффициенты матриц размерности , размерности и размерности находятся по передаточной функции .

Используя матрицу , можно найти [1] переходную матрицу состояния непрерывной системы (1.81), которую обозначим , и записать общее уравнение первого (дифференциального) уравнения (1.81) в виде

где − момент приложения внешнего воздействия , − начальное значение вектора состояния при . Сигнал с выхода ФУ представляет собой последовательность прямоугольных импульсов длительности и высоты , поступающих в моменты времени . Рассмотрим произвольный -ый момент времени и обозначим значение вектора состояния при через . Тогда реакция системы (выход звена) на -ый импульс будет

(1.82)

Обозначим при (момент окончания импульса) значение вектора через . Тогда во время паузы в -ом периоде сигнал на выходе звена будет определяться выражениями:

(1.83)

Из (1.82) находим при вектор , подставляем его в (1.83) и окончательно получаем

(1.84)

Положим в (1.84) и, используя свойства переходной матрицы состояния , получим

.

Сделав под интегралом замену переменной и с учетом , получим

Обозначим числовые матрицы

, , , (1.85)

а векторы , , , через , , , . Окончательно получим уравнения состояния разомкнутой импульсной системы вида (1.80)

(1.86)

Приведенная методика получения разностных уравнений разомкнутой импульсной системы обобщает подход, изложенный в подразделе 1.2 при выводе уравнения (1.15).

Напомним [1] один из возможных способов определения вида матриц , , в (1.81) с использованием передаточной функции линейной непрерывной части системы. Пусть − дробно-рациональная функция переменной и уравнение имеет различных корней , тогда

, , , (1.87)

где , .

Если − диагональная матрица (87), то нетрудно найти , , , в (1.86)

, , , . (1.88)

В случае кратных корней матрица будет в форме Жордана.

Получим уравнения состояния замкнутой линейной импульсной системы рис. 1.3. С учетом уравнения замыкания из (1.86) получим уравнения состояния замкнутой импульсной системы

(1.89)

где − основная матрица замкнутой системы.

Возможно также получение уравнений состояния импульсной системы с использованием в качестве исходных передаточной функций разомкнутой или замкнутой импульсной системы, либо соответствующих разностных уравнений [5].

Пример 1.12. Пусть в разомкнутой импульсной системе . Уравнение имеет два корня , . Находим , . В соответствии с (1.88) определяем матрицы , , . Окончательно уравнения состояния разомкнутой импульсной системы будут

(1.90)