Решетчатые функции, разностные уравнения и дискретное преобразование Лапласа

Основой математической теории описания процессов в импульсных системах является аппарат решетчатых функций и разностных уравнений.

Решетчатой функцией будем называть функцию, определенную для целочисленных значений аргумента ( , 1, …). Впредь будем рассматривать или как дискретное время. Для ШИМ и АИМ , поэтому функции будем обозначать или . Решетчатые функции часто получаются из непрерывных при замене .

Аналогом производных непрерывных функций для решетчатых функций являются конечные разности. Конечная разность первого порядка (первая разность) для решетчатой функции обозначается и определяется выражением

. (1.5)

Вторая разность определяется как

и т.д. .

Аналогом операции интегрирования для решетчатой функции является операция суммирования

.

Очевидна связь , а функция называется первообразной для решетчатой функции .

Аналогом дифференциальных уравнений непрерывных функций для решетчатых функций являются разностные уравнения, связывающие функцию с ее разностями , …, , или разностные уравнения, связывающие функцию с ее значениями , …, . В дальнейшем будем рассматривать второй вариант разностных уравнений.

Линейные импульсные системы описываются линейными разностными уравнениями следующего вида:

, (1.6)

где - заданная функция (вход), - искомая функция (решение разностного уравнения, выход), , - постоянные коэффициенты, при этом чаще всего .

Величина , 2, … определяет порядок разностного уравнения. Для полного задания при нахождении решения кроме вида функции следует задать начальные условия искомого решения , ,…, .

В случае непрерывных систем [1], описываемых линейными дифференциальными уравнениями, в теории автоматического управления широкое распространение находят методы исследования, базирующиеся на преобразованиях Лапласа и Фурье, где функция непрерывного аргумента преобразуется в функцию комплексной переменной с помощью преобразования Лапласа

{ },

где - символ прямого преобразования Лапласа, -оригинал, - изображение. Существует обратный переход от к , т.е. { }, где - символ обратного преобразования Лапласа.

Аналогом преобразования Лапласа для решетчатых функций является дискретное преобразование Лапласа или -преобразование, определяемое соотношениями

{ }= ,

(1.7)

{ }= ,

где - решетчатая функция (оригинал), - изображение, - комплексная переменная, а и - соответственно символы прямого и обратного -преобразования.

В литературе (например, [6]) приводятся таблицы соответствия между и . Например, если - единичная ступенчатая решетчатая функция, то . Там же достаточно подробно рассматриваются свойства -преобразования. Например, если , где , - постоянные, то (свойство линейности).

Другое свойство: пусть { }, тогда при условии, что , …, (теорема смещения).

Если применить - преобразование к разностному уравнению (1.6), то с учетом вышеприведенных свойств нетрудно получить алгебраическиe уравнения относительно изображений:

, (1.8)

. (1.9)

Функция комплексной переменной

(1.10)

называется передаточной функцией и определяется как отношение изображений выхода ко входу при нулевых начальных условиях переменных , .

Наряду с решетчатыми функциями используются смещенные решетчатые функции, которые получаются из непрерывной функции при замене и обозначаются или в сокращенной записи , где - параметр смещения. Уравнение (6) также можно записать относительно смещенных решетчатых функций, т.е. будем иметь разностное уравнение со смещенными аргументом.

Для смещенных решетчатых функций преобразование (1.7) будет иметь вид

, (1.11)

т.е. изображение будет зависеть от параметра . При (1.7) и (1.11) совпадают.

Итак, в рамках изложенного можно говорить о функциях: непрерывной , решетчатой , смещенной решетчатой и соответственно об изображениях: , и .

Существует однозначная связь между перечисленными функциями и изображениями [6]. Эти соотношения для наиболее употребительных функций приведены в табл.1.1. -преобразование получается из последнего столбца при .

Таблица 1.1

Непрерывная функция	Решетчатая функция	преобразование для
			,

Отметим, что в литературе наряду с дискретным преобразованием Лапласа в форме -преобразования используется так называемое -преобразование, получаемое из (1.7), (1.11) заменой , т.е. изображения будут функциями комплексной переменной . Очевидно, свойства - и -преобразований во многом идентичны.

Решение разностного уравнения (1.8) при нулевых начальных условиях с использованием -преобразования имеет следующий алгоритм:

- по уравнению (1.8) находим передаточную функцию ;

- задавая вход ,находим по таблицам изображение функции ;

- перемножая и ,находим изображение , которое обычно будет иметь вид , где и полиномы относительно ;

- сложную дробно-рациональную функцию представляем в виде суммы простейших дробей первой степени

;

- переходим от изображения к оригиналу

,

где находим по таблицам.

Пример 1.1. Найти решение разностного уравнения при нулевом начальном значении и воздействии вида единичной ступенчатой функции .

Находим , , .

Представим в виде следующей суммы .

Из табл. 1.1 , , тогда решение будет иметь вид

.