Описание разомкнутых импульсных систем

Структура разомкнутой импульсной системы приведена на рис. 1.4.

Рис. 1.4

Линейная непрерывная часть системы характеризуется передаточной функцией , а импульсный элемент законом модуляции и постоянными значениями величин и . Заметим, что сигналы и непрерывные, а - последовательность прямоугольных импульсов, модулированных по амплитуде.

Рассмотрим получение разностного уравнения на простейшем примере. Пусть , тогда и связаны дифференциальным уравнением , которое легко решается.

Обозначим значение координаты в произвольный момент времени квантования через , тогда на интервале действия -ого импульса и закон изменения выхода будет

, . (1.12)

Найдем закон изменения на интервале паузы в -ом периоде, когда . Он будет иметь вид

. (1.13)

Полагая в (1.12) , найдем , подставим в (1.13) и после преобразований будем иметь

, . (1.14)

Положим в (1.14) и, обозначая , , будем иметь

, (1.15)

где , .

Итак, связь и в дискретные моменты времени описывается линейным разностным уравнением первого порядка (частный случай (1.6)), коэффициенты которого и определены через параметры ИЭ и ЛНЧ.

Аналогично, можно получить разностное уравнение при , т.е. для смещенных решетчатых функций .

Применяя к (1.15) -преобразование, найдем для данного случая передаточную функцию

, . (1.16)

Для простейших случаев передаточных функций можно по этой методике получить дискретные передаточные функции разомкнутой системы. Ниже приведем таблицу для трех вариантов передаточной функции .

Таблица 1.2

Если передаточная функция имеет более высокий порядок, но может быть представлена в виде суммы передаточных функций простейшего типа , то в этом случае находя по табл. 1.2 , можно получить общую передаточную функцию разомкнутой системы

.

Рассмотрим другой способ получения передаточной функции разомкнутой системы, излагаемый практически в любом учебнике. Структура на рис. 1.4 может быть представлена в виде, изображенном на рис. 1.5, а.

Рис.1.5

На рис. 1.5, а импульсный элемент представлен в виде идеального элемента (ИИЭ) или ключа и формирующего устройства (ФУ). Ключ периодически замыкается с периодом и формирует последовательность импульсов в виде -функций, площадь которых равна . ФУ формирует последовательность прямоугольных импульсов , амплитуда которых равна .

По определению - функция описывается так:

.

Разумеется, физически ИИЭ не существует, однако такое математическое представление ИЭ отражает физику процессов в исходной структуре рис.1.3. Объединяя передаточные функции и , приходим к структуре рис.1.5, б, где ЭЛНЧ – эквивалентная линейная непрерывная часть с передаточной функцией . В случае прямоугольных импульсов имеет вид

, (1.17)

где .

Если , , то такое формирующее устройство называют фиксатором или экстраполятором нулевого порядка.

Если рассматривать для , т.е. и ввести изображения решетчатых функций , , то связь входа и выхода в области изображений будет , где передаточную функцию дискретной разомкнутой системы можно определить по выражению [6]

. (1.18)

Отметим, что Z–преобразование применяется к решетчатым функциям. Однако каждой решетчатой функции соответствует непрерывная , а ей некоторое изображение . Поэтому будем понимать как символичную запись .

Алгоритм применения формулы (1.18) следующий. Если имеет высокий порядок, то представляют в виде суммы простейших (табличных) слагаемых. Далее по таблицам –преобразования находят изображения каждого слагаемого и суммируют их. В результате получают изображение . Полагая в , получают первое слагаемое в (1.18) и, полагая , – второе.

Наиболее часто используется случай фиксатора нулевого порядка ( ). В этом случае формула (1.18) упрощается и имеет вид

. (1.19)

В наиболее общем случае передаточная функция может быть записана в виде . При этом всегда степень полинома больше степени полинома , а характеризует порядок астатизма. В этом случае передаточная функция импульсной системы будет иметь вид

, (1.20)

причем степени полиномов и будут равны.

Для импульсной системы понятие порядка астатизма сохраняется, т.е. передаточная функция (1.20) соответствует импульсной системе с астатизмом -го порядка.

Пример 1.2. Найти передаточную функцию разомкнутой импульсной системы, если . Представим в виде суммы двух слагаемых

,

где , .

Воспользуемся табл. 1.2, тогда

, .

Таким образом,

. (1.21)

Теперь воспользуемся формулой (1.18) и найдем

.

По таблицам Z–преобразования [6] (либо таблица 1.1) находим

,

.

Таким образом, имеем

,

откуда находим при и при и подставляем их в (1.18). После преобразований приходим к выражению (1.19). Как и следовало ожидать, оба способа дали одинаковую передаточную функцию, которую можно записать и так

, (1.22)

где , , , , а коэффициенты и определены выше.

Если в приведенных выражениях положить , то получим передаточную функцию для случая, когда ФУ является фиксатором нулевого порядка.