Описание разомкнутых импульсных систем
Структура разомкнутой импульсной системы приведена на рис. 1.4.
Рис. 1.4
Линейная непрерывная часть системы характеризуется передаточной функцией , а импульсный элемент законом модуляции и постоянными значениями величин и . Заметим, что сигналы и непрерывные, а - последовательность прямоугольных импульсов, модулированных по амплитуде.
Рассмотрим получение разностного уравнения на простейшем примере. Пусть , тогда и связаны дифференциальным уравнением , которое легко решается.
Обозначим значение координаты в произвольный момент времени квантования через , тогда на интервале действия -ого импульса и закон изменения выхода будет
, . (1.12)
Найдем закон изменения на интервале паузы в -ом периоде, когда . Он будет иметь вид
. (1.13)
Полагая в (1.12) , найдем , подставим в (1.13) и после преобразований будем иметь
, . (1.14)
Положим в (1.14) и, обозначая , , будем иметь
, (1.15)
где , .
Итак, связь и в дискретные моменты времени описывается линейным разностным уравнением первого порядка (частный случай (1.6)), коэффициенты которого и определены через параметры ИЭ и ЛНЧ.
Аналогично, можно получить разностное уравнение при , т.е. для смещенных решетчатых функций .
Применяя к (1.15) -преобразование, найдем для данного случая передаточную функцию
, . (1.16)
Для простейших случаев передаточных функций можно по этой методике получить дискретные передаточные функции разомкнутой системы. Ниже приведем таблицу для трех вариантов передаточной функции .
Таблица 1.2
Если передаточная функция имеет более высокий порядок, но может быть представлена в виде суммы передаточных функций простейшего типа , то в этом случае находя по табл. 1.2 , можно получить общую передаточную функцию разомкнутой системы
.
Рассмотрим другой способ получения передаточной функции разомкнутой системы, излагаемый практически в любом учебнике. Структура на рис. 1.4 может быть представлена в виде, изображенном на рис. 1.5, а.
Рис.1.5
На рис. 1.5, а импульсный элемент представлен в виде идеального элемента (ИИЭ) или ключа и формирующего устройства (ФУ). Ключ периодически замыкается с периодом и формирует последовательность импульсов в виде -функций, площадь которых равна . ФУ формирует последовательность прямоугольных импульсов , амплитуда которых равна .
По определению - функция описывается так:
.
Разумеется, физически ИИЭ не существует, однако такое математическое представление ИЭ отражает физику процессов в исходной структуре рис.1.3. Объединяя передаточные функции и , приходим к структуре рис.1.5, б, где ЭЛНЧ – эквивалентная линейная непрерывная часть с передаточной функцией . В случае прямоугольных импульсов имеет вид
, (1.17)
где .
Если , , то такое формирующее устройство называют фиксатором или экстраполятором нулевого порядка.
Если рассматривать для , т.е. и ввести изображения решетчатых функций , , то связь входа и выхода в области изображений будет , где передаточную функцию дискретной разомкнутой системы можно определить по выражению [6]
. (1.18)
Отметим, что Z–преобразование применяется к решетчатым функциям. Однако каждой решетчатой функции соответствует непрерывная , а ей некоторое изображение . Поэтому будем понимать как символичную запись .
Алгоритм применения формулы (1.18) следующий. Если имеет высокий порядок, то представляют в виде суммы простейших (табличных) слагаемых. Далее по таблицам –преобразования находят изображения каждого слагаемого и суммируют их. В результате получают изображение . Полагая в , получают первое слагаемое в (1.18) и, полагая , – второе.
Наиболее часто используется случай фиксатора нулевого порядка ( ). В этом случае формула (1.18) упрощается и имеет вид
. (1.19)
В наиболее общем случае передаточная функция может быть записана в виде . При этом всегда степень полинома больше степени полинома , а характеризует порядок астатизма. В этом случае передаточная функция импульсной системы будет иметь вид
, (1.20)
причем степени полиномов и будут равны.
Для импульсной системы понятие порядка астатизма сохраняется, т.е. передаточная функция (1.20) соответствует импульсной системе с астатизмом -го порядка.
Пример 1.2. Найти передаточную функцию разомкнутой импульсной системы, если . Представим в виде суммы двух слагаемых
,
где , .
Воспользуемся табл. 1.2, тогда
, .
Таким образом,
. (1.21)
Теперь воспользуемся формулой (1.18) и найдем
.
По таблицам Z–преобразования [6] (либо таблица 1.1) находим
,
.
Таким образом, имеем
,
откуда находим при и при и подставляем их в (1.18). После преобразований приходим к выражению (1.19). Как и следовало ожидать, оба способа дали одинаковую передаточную функцию, которую можно записать и так
, (1.22)
где , , , , а коэффициенты и определены выше.
Если в приведенных выражениях положить , то получим передаточную функцию для случая, когда ФУ является фиксатором нулевого порядка.
Дата добавления: 2022-02-05; просмотров: 124;