Процессы в импульсных системах
Под процессом в импульсной САУ будем понимать изменение во времени некоторых координат, характеризующих систему. Чаще всего исследуется поведение системы по отношению к выходной координате или по отношению к сигналу ошибки. Будем рассматривать все процессы для дискретных моментов времени , т.е. в виде решетчатых функций , и т.д. Процессы в САУ возникают за счет приложения внешних воздействий (управляющих, возмущений и т.п.), либо за счет изменения значений внутренних координат системы (вариации начальных условий).
Исходными характеристиками при анализе процессов являются разностное уравнение замкнутой системы, главная передаточная функция системы , либо АФЧХ замкнутой системы .
Методы вычисления процессов можно разделить на три категории: аналитические, графоаналитические и методы моделирования с использованием ЭВМ.
С математической точки зрения вычисление процессов – это нахождение решения разностного уравнения (1.37). В теории разностных уравнений доказано, что общее решение уравнения (1.37) всегда представимо в виде суммы двух слагаемых
, (1.41)
где – свободная составляющая общего решения, а – вынужденная составляющая. Свободная составляющая обусловлена ненулевыми начальными условиями по переменной и, если они равны нулю, то . Вынужденная обусловлена входным воздействием и, если , то .
Для оценки динамических свойств системы обычно ищется и наиболее часто для двух видов входного сигнала – единичной ступенчатой функции и – гармонического воздействия, которым соответствуют решетчатые функции , . Реакция системы на сигнал , как отмечено выше, это переходная функция замкнутой системы .
Типичный вид функции приведен на рис. 1.8, на котором представлен
график решетчатой функции и непрерывная функция – огибающая.
Рис. 1.8
Величина – задается, а – установившиеся значение функции . Используя график, введем два важнейших показателя качества системы, характеризующие ее динамические свойства: перерегулирование
,
которое измеряется в процентах, и время регулирования , определяемое как момент времени, когда переходная функция , “войдет” в область и будет оставаться там при . На рис. 1.8 , где – целое число. Обычно . Область будем называть трубкой.
Рассмотрим аналитический способ вычисления переходной функции замкнутой системы . Пусть задана передаточная функция замкнутой системы в виде , где и полиномы степеней и , причем . Тогда при входном сигнале , изображение которого равно , изображение выходного сигнала будет
.
Рассмотрим идею получения для простейшего случая. Пусть характеристическое уравнение имеет простые корни (полюса передаточной функции ), тогда дробно-рациональная функция разлагается на сумму простейших первого порядка
, ,
где считаем . С учетом того, что будем иметь
.
Таким образом, изображение будет иметь вид
,
где .
Каждое слагаемое под знаком суммы является табличным, т.е. для него легко найти оригинал. Окончательно, переходя к оригиналам и обозначая будем иметь
(1.42)
Первое слагаемое в (1.42) характеризует установившуюся (постоянную) составляющую, а второе – переходную.
В случае кратных корней характеристического уравнения в литературе [6] приводят соответствующие выражения для вычисления .
Недостатком такого подхода является необходимость вычисления корней алгебраических уравнений. Кроме того, после получения аналитического выражения, требуется строить график для оценки вида переходного процесса и параметров и . Обычно такой подход применим для систем не выше третьего порядка.
Существуют графо-аналитические способы построения переходного процесса , базирующиеся на вещественной частотной характеристике замкнутой системы . Эти методы изложены, например, в [4], однако в настоящее время мало применяются.
Наиболее распространенный в настоящее время путь вычисления и построения переходной функции – это компьютерное моделирование.
Второй тип процессов, исследуемых в импульсных системах, это процессы, вызванные гармоническими входными сигналами вида . Наиболее просто они определяются для случая установившегося режима (для больших значений дискретного времени ). В этом случае исходной характеристикой является АФЧХ системы . После вычисления АЧХ как и ФЧХ как определяется выходной гармонический сигнал в установившемся режиме
. (1.43)
Итак, вычисляя и , найдем амплитуду гармонического сигнала на выходе и сдвиг его по фазе относительно входа.
Одним из способов вычисления процессов в импульсной системе при любом законе изменения входной величины является рекуррентный пошаговый способ решения разностного уравнения (1.37). Рассмотрим разностное уравнение примера 1.1: при и , . Уравнение запишем в виде
.
Будем последовательно задавать значения и т. д., тогда при имеем , но т.к. задано , , то .
При имеем . При получим и т. д. Это совпадает с результатом аналитического решения , полученного ранее в примере 1.1.
Рассмотрим общий случай уравнения (1.37), для чего представим его в следующем виде (принимаем ):
.
Полагаем следующие начальные условия при , , вход задан для . Последовательно для найдем .
В импульсных системах, в отличие от непрерывных, при определенных параметрах системы возможно существование процессов “конечной длительности”, т.е. достигающих установившегося положения за конечный промежуток времени.
Если в импульсной системе путем подбора параметров ИЭ и ЛНЧ можно в передаточной функции замкнутой системы (1.36) сделать все , , (далее полагаем ), то передаточная функция (1.36) будет иметь вид
,
а разностное уравнение (1.37) соответственно будет
.
Задавая , , при , а также , можно вычислить переходную функцию . При этом, начиная с n-го момента времени ее значения будут постоянными , т.е. переходной процесс заканчивается за интервалов. Пусть, например, имеем , , , , , , тогда найдем , , .
Итак, в системах с конечной длительностью процессов всегда время регулирования .
Пример 1.5. Пусть передаточная функция , тогда (см. пример 1.2) передаточная функция разомкнутой системы будет
,
где , , , , .
Пусть , , , . Тогда с учетом , нетрудно вычислить коэффициенты , , , .
Передаточная функция разомкнутой системы в этом случае будет
,
а замкнутой системы
.
Округляя числа, получим окончательное выражение для расчетов
.
Корни характеристического уравнения будут , . Находим величины, входящие в (1.42). Так как , получим , , . Таким образом, будем иметь
После преобразования комплексных чисел с использованием известных правил получаем окончательно
.
Пример 1.6. Пусть , тогда (см. пример 1.4) , , . Передаточная функция замкнутой системы имеет вид . Найдем при . Очевидно, . По таблице 1 для данного изображения находим оригинал
.
Установившийся процесс в такой системе, при и , будет . Если , процесс будет монотонным, а если - колебательным. Пусть выполняется условие , т.е. , что всегда выполнимо. В этом случае имеем систему с процессами конечной длительности, т.е. будет , . Процесс в системе заканчивается через один период .
Дата добавления: 2022-02-05; просмотров: 173;