Тема 2. Переходные процессы в RC-цепях.


 

2-1. Процессы, протекающие в простейшей RC-цепи.

Переходный процесс обусловлен тем, что энергия электромагнитных полей, связанных с цепью при различных установившихся режимах различна, а скачкообразное изменение энергии, т.е. изменение энергии на конечную величину за бесконечно малый промежуток времени, невозможно из-за ограниченности величины мощности физически существующих источников энергии.

Линейным устройством (элементом) называется устройство (элемент), параметры которого не зависят от протекающего тока или приложенного напряжения. Нелинейное устройство - это устройство, параметры которого зависят от тока или напряжения.

Переходные процессы в простейших линейных цепях, т.е. в цепях RL или RC описываются дифференциальным уравнением первого порядка:

 

,

 

где x(t) - напряжение или ток в схеме, y(t) - внешнее воздействие.

 

Решение этого уравнения для случая y(t) = const имеет вид:

 

,

 

где t - текущее время, x(t) - напряжение или ток в схеме, x(¥) - конечное значение x(t) при t®¥, x(0) - начальное значение x(t) при t = 0.

Характер изменения функции x(t) представлен на рис. 2.1 (убывающая или нарастающая экспонента).

 

 

Рис. 2.1. Характер изменения экспоненциальной функции.

 

Выполним следующие преобразования:

 

,

.

 

Поскольку , то очевидно, что AB = t.

При анализе переходных процессов часто возникает задача нахождения интервала времени , за который функция x(t) изменяется от значения x(t1) до значения x(t2). Запишем значение функции в точках t1 и t2:

 

,

.

 

Откуда

 

,

,

,

,

.

 

Применим полученные соотношения для анализа RC-цепей. Предварительно напомним законы коммутации для RL и RC-цепей:

1-ый закон коммутации: напряжение на конденсаторе в момент коммутации не может измениться скачком UС(0-) = UС(0+);

2-ой закон коммутации: ток, протекающий через индуктивность, не может измениться скачком IL(0-) = IL(0+).

Законы коммутации являются следствием того, что энергия в цепи не может изменяться мгновенно, так как для этого требуется бесконечно большая мощность источников энергии. Рассмотрим RC-цепь (рис. 2.2).

 

 

Рис. 2.2. Схема простейшей RC-цепи.

 

Пусть конденсатор не заряжен и в момент времени t = 0 ключ переходит из положения «0» в положение «1». Для начальных и установившихся режимов в этом случае можно записать:

при t = 0 UС(0) = 0, UR(0) = E;

при t = ¥ UС(¥) = E, UR(¥) = 0.

После подстановки получаем:

 

,

.

 

Считая, что конденсатор заряжен до значения UС = E, рассмотрим процесс после перевода ключа из положения «1» в положение «2». Начальные и установившиеся значения напряжений на элементах в этом случае запишутся:

при t = 0 UС(0) = E, UR(0) = -E;

при t = ¥ UС(¥) = 0, UR(¥) = 0.

После подстановки получаем:

 

,

.

 

Характер изменения функций UC(t) и UR(t) представлен на рис. 2.3.

 

 

Рис. 2.3. Характер изменения функций UС(t) и UR(t) простейшей RC-цепи.

 

Из курса математики известно, что за утроенное значение постоянной времени, т.е. за время 3t, экспонента изменяется на 0.95 своего конечного полного изменения. Это значит, что за время 3t конденсатор условно разряжается и заряжается.

 

2-2. Интегрирующая RC-цепь.

Электрическая принципиальная схема интегрирующей RC-цепи представлена на рис. 2.4(а). Коммутация напряжения на входе, рассмотренная ранее, эквивалентна подаче на вход прямоугольного импульса напряжения (рис. 2.4(б)). Как было выведено ранее, характер изменения функции UC(t)=Uвых в общем случае выражается следующими зависимостями:

 

- нарастающая экспонента для 0 £ t £ tи;

- убывающая экспонента для t > tи, где - значение напряжения, до которого успел зарядиться конденсатор в период действия импульса.

 

Рис. 2.4. Интегрирующая RC-цепь и временные диаграммы напряжений.

 

Разряд конденсатора после прекращения действия импульса приводит к тому, что выходной импульс будет иметь большую продолжительность, чем входной. Происходит расширение импульса без сохранения его формы, поэтому такая RC-цепь называется расширяющей.

Поскольку , а , то

.

Так как , то

.

 

Рассмотрим случай, когда . Поскольку , следовательно , и можно записать:

 

,

 

то есть на выходе интеграл от входного напряжения. Отсюда очевидно название рассмотренной цепи – интегрирующая. Эта цепь используется, в частности, для получения линейно изменяющегося напряжения. Для этого на вход интегрирующей цепи подается постоянное напряжение . Тогда получаем

 

,

 

то есть на выходе линейно изменяющееся напряжение (рис. 2.5).

 

 

Рис. 2.5. Графики изменения идеального и реального выходных напряжений интегрирующей RC-цепи.

 

В отличие от рассмотренного идеального случая, в реальной цепи

 

.

 

Найдем производную по t от функции идеального выходного напряжения:

 

.

 

Аналогично для функции реального выходного напряжения производная запишется:

 

.

 

При t=0 ,

 

т.е. в нуле производные реальной и идеальной функций совпадают, а в дальнейшем - расходятся. За меру расхождения на интервале [0, tи] принимают коэффициент нелинейности - относительное изменение производной:

 

.

 

Для случая можно воспользоваться формулой разложения функции : при . Тогда

 

,

 

т.е. чем больше t при данном значении tи, тем меньше ß. Реальная функция Uвых.р в этом случае ближе к идеальной Uвых.ид.

 

2-3. Разделительная дифференцирующая RC-цепь.

Электрическая принципиальная схема разделительной дифференцирующей RC-цепи и её временные диаграммы представлены на рис. 2.6.

 

Рис. 2.6. Разделительная дифференцирующая RC-цепь и временные диаграммы напряжений.

 

Как было показано ранее, меняется по закону:

 

для 0 £ t £ tи,

для t > tи.

 

При рассматриваемая RC-цепь выполняет функции разделительной цепи, назначение которой передать входное напряжение с наименьшими искажениями и отделить при этом постоянную составляющую. Абсолютная величина завала вершины равна напряжению на конденсаторе в момент tи снятия входного импульса, т.е.

 

.

 

Для случая , с учетом рассмотренного ранее разложения функции при получаем:

 

.

 

Оценкой качества разделительной цепи является величина относительного завала вершины g, которая определяется как:

 

.

 

Таким образом, завал вершины, а значит искажение входного импульса, тем меньше, чем больше постоянная времени цепи t при данном tи. Если величина завала вершины несравненно мала, то импульс передается без искажения.

 

 

Рис. 2.7. Диаграммы входного и выходного напряжений разделительной цепи.

 

Из временной диаграммы рис. 2.7 видно, что амплитуда последовательности импульсов выходного напряжения постоянна, но при этом импульсы смещаются относительно нулевого уровня. В установившемся режиме площади под графиком S+ положительной и S- отрицательной областей последовательности импульсов окажутся равными друг другу: S+ = S-.

Доказать этот факт можно, рассмотрев диаграмму тока, протекающего через резистор (рис.2.8). Очевидно, что i1t1 - это заряд Qи, переносимый через емкость за время действия импульса на входе, а i2(t2-t1) – заряд Qп, переносимый через емкость за время паузы между импульсами, т.е. в обратном направлении. Тогда общий заряд, переносимый через емкость за время, равное периоду импульса будет равен:

 

.

 

Поскольку постоянная составляющая через емкость не проходит , следовательно, или . Поскольку , а сопротивление – величина постоянная, то значит и равны S+ и S- на диаграмме Uвых. Таким образом, для разделительной цепи необходимо выполнение условия: .

Рис. 2.8. Диаграмма тока, протекающего через резистор разделительной RC-цепи.

 

Поскольку , а , то

 

 

Продифференцируем обе части полученного уравнения. Получим

 

 

Так как , то .

 

Рассмотрим случай . Поскольку , то можно записать . Тогда

 

.

 

Из полученной формулы следует название такой цепи – дифференцирующая. Для дифференцирующей цепи должно выполняться условие , т.е. конденсатор должен успевать быстро перезаряжаться при данном tи. Диаграммы входного и выходного напряжений дифференцирующей цепи для последовательности импульсов представлены на рис. 2.9.

 

 

Рис. 2.9. Диаграммы входного и выходного напряжений дифференцирующей RC-цепи.



Дата добавления: 2022-02-05; просмотров: 351;


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2024 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.026 сек.