Системы координат в геодезии

Положение точек на физической Земной поверхности определяется принятой системой координат.

Координаты - это угловые и линейные величины, определяющие положение точек на поверхности Земли и в пространстве.

В геодезии применяются различные координатные системы. Рассмотрим некоторые из них.

Географические координаты - это широта (F) долгота (L) и высота (Н). Координатными плоскостями, относительно которых определяется положение точек, являются (рис. 1.2):

Рис. 1.2. Система географических координат.

Плоскость экватора, проходящая через центр эллипсоида перпендикулярно оси его вращения.

Плоскость начального меридиана – плоскость, проходящая через нормаль к поверхности эллипсоида в центре Гринвичской обсерватории (вблизи Лондона) и параллельная его малой оси.

Плоскость меридиана, проходящая через заданную точку Земной поверхности, называется плоскостью меридиана данной точки.

Географическая широта F - это угол, образованный нормалью к поверхности земного эллипсоида в данной точке и плоскостью экватора.

Широты, отсчитываемые от экватора к северу называются северными и имеют знак «+», отсчитываемые к югу называются южными и имеют знак «-». По величине широта изменяется от 0⁰ до 90⁰.

Географическая долгота L - двугранный угол между плоскостями географического меридиана данной точки М и начального меридиана.

Отсчитывается от начального меридиана с Запада на Восток от 0⁰ до 360⁰ либо в обе стороны от 0⁰ до 180⁰, с указанием соответственно "восточная" и "западная".

Географическая высота H - расстояние по нормали от точки до ее проекции на поверхность эллипсоида.

Достоинство географических координат заключается в возможности обрабатывать результаты измерений в единой для всей поверхности Земли системе.

Большой круг (рис. 1.2) - линия пересечения земной поверхности с плоскостью проходящей через центр Земли. Дуга большого круга - кратчайшее расстояние между точками на земной поверхности.

Высота любой точки - есть расстояние от нее до уровенной поверхности. Превышением называется разность высот двух точек местности.

Применение географических координат для практических целей сопряжено с рядом трудностей:

- взаимное расположение точек определяется в угловых единицах, а все расстояния измеряются линейными мерами;

- значения одних и тех же угловых величин соответствуют разным линейным величинам в зависимости от широты места;

- использование географических координат связано со сложными расчетами.

В связи с этим географические координаты напрямую применяют только в мелкомасштабном картографировании.

Более простой системой являются плоские прямоугольные координаты. Решение геодезических задач в этой системе выполняется по простым формулам аналитической геометрии.

Однако для использования прямоугольных координат необходимо предварительно поверхность эллипсоида каким-то образом перенести (спроецировать) на плоскость. Такой перенос сопровождается неизбежными искажениями, величина и характер которых зависят от вида проекции.

Могут быть равноугольные, равновеликие и произвольные проекции.

Наиболее удобными для практических целей являются равноугольные проекции (сохранение углов и, следовательно, подобия объектов). В частности, наиболее широко с 1928 г. используется равноугольная поперечно - цилиндрическая проекция Гаусса - Крюгера.

Гаусс предложил эту проекцию, а Крюгер - разработал формулы для ее реализации.

Суть проекции:

- Земной эллипсоид разбивается меридианами на 6-ти градусные зоны (дольки) (рис. 1.3);

Рис. 1.3. Разбивка Земного эллипсоида на зоны.

- каждая зона проецируется на внутреннюю боковую поверхность цилиндра и касается его по среднему (осевому) меридиану;

- цилиндр разворачивается в плоскость.

В результате получается изображение, показанное на рис. 1.4.

Средний меридиан каждой зоны называется осевым, а крайние - граничными.

Осевой меридиан на плоскости изображается прямой линией без искажений и принимается за ось абсцисс, за ось ординат принимается экватор.

Рис. 1.4. Проекция Гаусса-Крюгера.

Таким образом, каждая зона имеет свою систему координат, в которой положение любой точки определяется ее расстоянием от осевого меридиана и от экватора. Зоны нумеруются арабскими цифрами от 1 до 60.

Так как территория России находится к северу от экватора, то все абсциссы точек здесь положительны. Чтобы избежать отрицательных ординат, начало координат принимают по оси ОY не 0, а +500 км. Такие ординаты называются преобразованными. При записи впереди ординаты указывают номер зоны. Так если точка А расположена в 12 зоне к западу от осевого меридиана на расстоянии 57235 м, а точка В - к востоку на 57235 м, то преобразованные координаты этих точек будут:

Ya = 500000 – 57235 = 442765 м;

Yb = 500000 + 57235 = 557235 м,

а с учетом расположения в 12 зоне Ya = 12 442765 м;

Yb = 12 557235 м.

Переход от расстояний на эллипсоиде к расстояниям на плоскости в проекции Гаусса-Крюгера связан с понятием масштаба изображения.

Масштаб изображения проекции m есть отношение бесконечно малого отрезка на плоскости dB к бесконечно малому отрезку на эллипсоиде dS, т.е. m = dB/dS.

В проекции Гаусса-Крюгера m зависит от ординаты точки Y:

m=1+Y²/2R² (R - радиус Земли).

Все расстояния измеряются на эллипсоиде. Для получения расстояний на плоскости надо применить формулу:

B = m S = S + Y²_m/2R²,

где Y_m=(Y₁+Y₂)/2 - преобразованная ордината средней точки линии.

Величина dS= Y²_m/2R² называется редукцией расстояния, она всегда положительна, то есть линия на плоскости больше линии на сфере. Из этой формулы видно, что искажения расстояний нарастают по мере удаления от осевого меридиана. На краю зоны dS порядка 1/1600 длины линии в средних широтах и 1/8000 - у полюсов.

Проекция Меркатора применяется в морских картах, при этом меридианы и параллели образуют прямоугольную сетку (рис. 1.5).

Рис. 1.5. Морская гидрографическая карта рейда Адлер.

Ориентирование

Ориентирование линий на картах, планах и на местности необходимо при проектировании и строительстве сооружений и, особенно, при выносе проектов в натуру. При этом ориентируются разбивочные оси сооружений.

Ориентировать линию - значит определить ее направление относительно меридиана.

Как отмечалось, плоскость, проходящая через заданную точку местности и ось вращения Земли, называется плоскостью истинного меридиана данной точки. Направление истинного меридиана определяется из астрономических наблюдений. Истинный меридиан проходит через географические полюсы Земли (концы оси ее вращения).

Однако существуют еще магнитные полюсы Земли.

Магнитные полюсы - это точки схождения силовых линий магнитного поля Земли. Они расположены в северном и южном полушариях, не совпадают с географическими полюсами и находятся внутри Земли.

Прямая, соединяющая магнитные полюсы составляет с осью вращения Земли угол около 11.5⁰ и не проходит через ее центр.

Вертикальная плоскость, проходящая через данную точку и магнитные полюсы, называется плоскостью магнитного меридиана.

Угол между плоскостями магнитного и истинного меридианов называется магнитным склонением и обозначается через d. Склонение отсчитывается от северного направления истинного меридиана к востоку и к западу. В первом случае оно называется восточным (знак «+»), во втором - западным (знак «-») - рис. 1.6.

Рис. 1.6. Магнитное склонение.

Угол между плоскостью горизонта и направлением силовой линии магнитного поля Земли в данной точке называется магнитным наклонением. Он отсчитывается от горизонтального направления вниз от 0⁰ до 90⁰.

Магнитное склонение и наклонение называются элементами земного магнетизма.

Для ориентирования линий служат углы, называемые азимутами, дирекционными углами и румбами.

Азимутом называется горизонтальный угол, отсчитывает от северного направления меридиана до направления данной линии. Азимут имеет значение от 0⁰ до 360⁰. Если Азимут отсчитывается от направления истинного (географического) меридиана, то он называется истинным, если от магнитного, то магнитным (рис. 1.7).

Так как меридианы в разных точках Земли не параллельны между собой (сходятся к полюсам), то азимут одной и той же линии в разных ее точках различен.

Угол между направлениями меридианов в разных точках Земли называется сближением меридианов и обозначается ¡. Если точки близки между собой (до 1 км), то ¡ » 0 и А1 » А2.

Азимут данного направления называется прямым (А1), а обратного - обратным (А1^’), они различаются на 180⁰.

Рис. 1.7. К определению азимутов линий.

Дирекционным углом называется горизонтальный угол между северным направлением осевого меридиана данной зоны в проекции Гаусса-Крюгера и направлением данной линии. Отсчитывается, как и азимут от 0⁰ до 360⁰, обозначается a.

Разность между истинным азимутом и дирекционным углом линии в данной на ней точке равна сближению истинного меридиана и осевого меридиана зоны. В отличие от азимутов, дирекционные углы одной и той же линии в разных точках одинаковы (в пределах данной зоны). Дирекционные углы также могут быть прямыми и обратными.

Иногда в практическом применении удобнее определять направления острыми углами. В этих случаях пользуются румбами.

Румбом называется острый горизонтальный угол, отсчитываемый от ближайшего (северного или южного) направления меридиана до направления данной линии (рис. 1.8).

Румбы имеют значения от 0⁰ до 90⁰. Чтобы определить румбом направление линии относительно меридиана необходимо кроме числового значения указать название четверти горизонта, где проходит линия. Направления СВ, ЮВ, ЮЗ, СЗ. Румбы также могут быть магнитными или истинными.

Связь между румбами и азимутами:

1-я четверть (СВ) r = A; 2-я четверть (ЮВ) r = 180⁰ - A; 3-я четверть (ЮЗ) r = A -180⁰; 4-я четверть (СЗ) r = 360⁰ - A.

Рис. 1.8. К определению румбов и их связи с азимутами.

Ориентировать план или карту значит расположить их так, чтобы направления линий на плане или карте были параллельны направлению горизонтальных проекций соответствующих линий на местности. Ориентирование можно осуществлять по компасу (буссоли), или по линии местности, имеющейся на плане (например, дороги).

Компас - круглая коробка с горизонтальным кругом, имеющим градусное (от 0⁰ до 360⁰) и румбовое С, СВ, В, ЮВ и т.п. деление (рис. 1.9, а). Внутри на острие иглы свободно вращается магнитная стрелка. Северный конец - синий, южный - красный. При хранении и переносе стрелка плотно прижимается к стенке специальным приспособлением - арретиром.

Компас больших размеров и более совершенной конструкции называется буссолью (рис 1.9, б). Коробка буссоли помещена на пластине со скошенным краем, имеющим миллиметровые деления. На пластине имеется круглый уровень для установки буссоли в горизонтальное положение, имеется также арретир как у компаса.

а) б)

Рис. 1.9. Компас а) и буссоль б).

Ориентируют план по компасу или буссоли с использованием нанесенных на план меридианов или километровых линий в следующей последовательности:

- план привести в горизонтальное положение;

- на план установить буссоль так, чтобы север ее был направлен по направлению меридиана на карте;

- освободить стрелку;

- осторожно вращая план вместе с буссолью добиться, чтобы штрих Север совпал с северным концом стрелки.

Если ориентировать по истинному меридиану, то надо знать склонение и подводить под север стрелки не С (то есть 0⁰), а градус склонения.

Для ориентирования по линии местности необходимо найти эту линию (дорогу) на плане, встать на этой линии на местности, после чего поворотом плана или карты направить опознанную линию параллельно соответствующей линии на местности.

1.5. Топографические карты и планы

Планы и карты представляют собой уменьшенное и подобное изображение земной поверхности на плоскости. Для получения планов и карт используется метод ортогональной проекции, т.е. изображение пространственных объектов на плоскости посредством проектирующих лучей, перпендикулярных к плоскости проектирования. При этом в геодезии точки физической поверхности Земли проектируют на поверхность эллипсоида лучами, направленными перпендикулярно к ней.

Если на плоскости изображаются значительные территории, то нельзя пренебрегать кривизной Земли, а следует ее учитывать. Сферическая поверхность не может быть перенесена на плоскость без складок и разрывов, поэтому при переносе не может быть достигнуто полное подобие. Для максимального уменьшения этих искажений и последующего их учета применяются различные картографические проекции, рассмотренные выше.

Карта - построенное по определенным математическим законам уменьшенное изображение на плоскости значительной части Земной поверхности, размеры которой не позволяют пренебрегать кривизной Земли.

План - уменьшенное и подобное изображение на плоскости небольшого участка местности, в пределах которого кривизна Земли не учитывается (круг радиусом порядка 20 км).

Карты и планы бывают общегеографические, на них показывают рельеф, гидрографическую сеть, населенные пункты, дороги, растительность и т.п. Если на картах или планах не показан рельеф, то они называются контурными или ситуационными.

Все, что не относится на плане к изображению рельефа, называется ситуацией.

Масштаб - отношение длины отрезка на плане к горизонтальному проложению (проекции) того же отрезка на местности. Масштабы бывают численные и графические. Численный масштаб выражается дробью с числителем единица: 1/200; 1/500; 1/1000; 1/5000; 1/10000 и т.п. Знаменатель численного масштаба показывает во сколько раз отрезок на плане короче, чем его горизонтальное проложение на местности.

Линейный масштаб (рис. 1.10) - это графический масштаб в виде отрезка прямой, разделенного на равные части, с подписанными значениями соответствующих им расстояний на местности.

Рис. 1.10. Линейный масштаб.

Линейный масштаб не позволяет проводить на плане измерения с требуемой точностью, поэтому применяют поперечные масштабы.

Поперечный масштаб – это графический масштаб в виде номограммы, построение которой основано на пропорциональности отрезков прямых, пересекающих стороны угла (рис. 1.11).

Рис. 1.11. Поперечный масштаб.

Человеческий глаз различает на карте отрезок не более 0.1 мм (укол булавки). Этот отрезок характеризует графическую точность при измерении и откладывании расстояний на карте.

Точность масштаба – это длина горизонтальной проекции линии местности, соответствующая 0.1 мм на карте:

Масштаб 1:2000 1:5000 1:10000

Точность масштаба 0.2 м 0.5 м 1.0 м

Предметы местности (здания, сооружения, дороги, мосты, леса, сельхозугодья и т.п.) на планах и картах составляют ситуацию и изображаются условными знаками (рис. 1.12). Условные знаки бывают масштабные, внемасштабные и линейные.

Масштабные - отображают предметы местности подобными оригиналу. По ним определяются не только расположение, но и размеры объектов (например, пашня).

Внемасштабные - указывают вид и расположение объектов на местности, но занимают больше места, чем надо по масштабу (например, столбы).

Рис. 1.12. Условные знаки.

Линейные - реально отображают длину объектов (дорог, ЛЭП и т.п.), но преувеличивают их ширину.

Все условные знаки на планах и картах сочетаются с пояснительными надписями и цветовым оформлением.

Условные знаки различаются для карт и планов различных масштабов. Они сведены в специальные сборники и являются обязательными для всех организаций, выполняющих геодезические работы.

Рельеф местности - это совокупность неровностей земной поверхности.

Основные формы рельефа:

1. Равнина - имеет плоскую форму. При высоте до 200 м над уровнем моря - низменность, выше - плоскогорье.

2. Гора - конусообразное возвышение земной поверхности, при высоте h < 200 м - холм. Боковая поверхность горы - склон (скат), вверху вершина, внизу подошва.

3. Котловина - замкнутое углубление земной поверхности. Самая низкая точка - дно, боковая поверхность - скаты, верх - бровка.

4. Хребет - вытянутая возвышенность земной поверхности, постепенно снижающаяся в одном направлении. Линия вдоль хребта по самым высоким точкам - водораздел.

5. Лощина - вытянутое углубление земной поверхности, понижающееся в одном направлении. Линия вдоль лощины по самым низким точкам - водоток или тальвег. Разновидности - овраг, долина, балка, промоина.

6. Седловина - пониженная часть местности между двумя возвышенностями. В горах - это перевалы.

Вершина горы, дно котловины, низкая точка седловины называются характерными точками рельефа.

Рельеф на картах и планах изображается отмывкой (редко и не точно) и горизонталями (изобатами).

Горизонтали (изобаты) - линии равных высот (глубин) на картах и планах. Горизонтали представляют собой след пересечения уровенных поверхностей с рельефом местности (рис. 1 .13).

Рис. 1.13. Изображение рельефа горизонталями.

При этом расстояние между секущими уровенными поверхностями называется высотой сечения рельефа h. Высота сечения зависит от масштаба карты и сложности рельефа. Подробности рельефа иногда выделяют полугоризонталями. Каждая пятая горизонталь утолщается. Высота горизонталей подписывается в разрыве так, чтобы верх цифры был направлен в сторону повышения местности. Горизонтальное расстояние между горизонталями называется заложением. Крутизна ската в направлении заложения определяется углом наклона или уклоном: i = tgn = h/a, где i -уклон, n - угол наклона, h - высота сечения рельефа, а – заложение (расстояние между горизонталями на плане по любому направлению).

Уклоны выражаются в процентах % или промилле ‰. Для указания направления понижения склонов применяют бергштрихи.

Изображение горизонталями различных форм рельефа показано на рис. 1.14.

Рис. 1.14. Основные формы рельефа и их изображение горизонталями. а) – холм, б) – терраса с обрывом, в) – котловина, г) – лощина, д) – овраг, е) – хребет, ж) – седловина, з) – нависший утес.

Топографические карты для удобства использования имеют размер 1 листа 50 х 50 или 40 х 40 см, причем границами листов служат меридианы и параллели.

1.6. Номенклатура топографических планов и карт

Изображения значительных территорий Земной поверхности в виде карт состоят из многих листов.

Систему взаимного расположения листов карт различных масштабов называют разграфкой.

Систему обозначений отдельных листов топографических карт называют номенклатурой.

Расположение и обозначение многолистных карт различных масштабов осуществляют в соответствии со специальной сборной таблицей, в основу которой положена государственная карта России масштаба 1:1000000.

деление сборной таблицы па листы осуществляют следующим образом. Вся земная поверхность делится меридианами, проводимыми через 6⁰, на 60 колонн. колонны нумеруют арабскими цифрами, при этом счет ведут от меридиана с долготой 180° (рис. 1.15)

Рис. 1.15. Разграфка и номенклатура листов карт

масштаба 1 : 1 000000.

Колонны разделяют на ряды параллелями, проводимыми через 4⁰ . Ряды обозначают заглавными буквами латинского алфавита и счет ведут от экватора к северному и южному полюсам. Пересекаясь, меридианы и параллели образуют рамки каждого листа карты в рядах и колоннах масштаба 1:1000 000.

Номенклатура листа карты складывается из обозначений ряда и колонны, в которых расположен данный лист. Так, например, N - 37 — номенклатура листа, на котором находится Москва, К – 37 – лист, на котором находится Сочи.

Одному листу карты масштаба 1:1 000 000 соответствуют 4 листа карты масштаба 1: 500 000, обозначаемые заглавными буквами русского алфавита А, Б, В, Г, 36 листов карты масштаба 1: 200000, обозначаемые римскими цифрами I — ХХХVI; 144 листа карты масштаба 1:100000, обозначаемые арабскими цифрами 1-144 (рис. 1.16).

Рис. 1.16. Разграфка и обозначение листов карты: масштаба

1 : 500 000; масштаба 1 : 200 000; масштаба 1 : 100 000.

Номенклатуру карт соответствующих масштабов определяют добавлением указанных обозначений к соответствующей номенклатуре карты масштаба 1:1000 000, в пределы которой попадает искомый планшет. данные этой разграфки для листа карты N - 37 даны в табл. 1.1.

Таблица 1.1.

разграфка для листа карты N - 37

Лист карты масштаба 1:100000 служит основой для разграфки и обозначения карт более крупных масштабов. Одному листу карты масштаба 1: 100000 соответствуют 4 листа карты масштаба 1:50000, которые обозначают прописными буквами русского алфавита А, Б, В, Г и присоединяют к номенклатуре стотысячного листа (рис. 1.17).

Рис. 1.17. Разграфка и обозначение листов карты

масштаба 1 : 50 000.

Лист карты масштаба 1: 50 000 служит основой для разграфки и обозначения карт масштаба 1: 25 000, которые обозначают строчными буквами русского алфавита а, б, в, г и присоединяют к номенклатуре карт масштаба 1: 50 000 (рис. 1.18).

Лист карты масштаба 1: 25 000 служит основой для разграфки и обозначения карт масштаба 1: 10 000, которые обозначают арабскими цифрами 1, 2, 3, 4 и присоединяют к номенклатуре карт масштаба 1:25 000 (см. рис. 1.18).

Данные для разграфки карт крупных масштабов представлены в табл. 1.2.

Рис. 1.18. Разграфка и обозначение карт масштабов

1 : 25 000 и 1 : 10000.

Таблица 1.2.

разграфка карт крупных масштабов

Одному листу карты масштаба 1 : 100 000 соответствуют 256 (16 х 16) листов плана масштаба 1 : 5000, которые обозначаются цифрами 1, 2, . . ., 256, заключаемыми в скобки. Тогда номенклатура последнего листа плана 1 : 5000, для листа карты масштаба 1 : 100 000 N – 37 – 144, соответственно будет N – 37- 144 (256).

Одному листу плана масштаба 1 : 5000 соответствуют 9 листов плана масштаба 1 : 2000, которые обозначаются строчными буквами русского алфавита а, б, в, г, д, е, ж, з, и, заключаемыми в скобки. Тогда номенклатура последнего листа плана 1 : 2000, для листа карты масштаба 1 : 100 000 N – 37 – 144, соответственно будет N – 37- 144 (256-и).

1.7. Содержание топографических планов и карт

Содержание топографических карт и планов должно быть достаточно полным для решения многообразных инженерных задач.

Внутренняя рамка, т. е. рамка, ограничивающая картографический материал на топографических картах представляет собой трапецию, в углах которой подписаны географические координаты — широта и долгота (рис. 1.19).

Между внешней (оформительской) и внутренней рамкой помещена минутная рамка, позволяющая определять географические координаты точек. На листе карты нанесена координатная километровая сетка, линии которой параллельны осевому меридиану зоны и экватору. Координатная сетка подписана и позволяет определять прямоугольные геодезические координаты точек. Размер стороны квадрата координатной сетки соответствует 1 км в масштабе данной карты.

Рис. 1.19. Рамка топографической карты масштаба 1 : 10 000.

Над верхней рамкой карты указывают номенклатуру листа, название наиболее значительного населенного пункта и систему координат карты. Под нижней рамкой приводят данные о склонении магнитной стрелки, сближении меридианов, схему взаимного положения вертикальной линии сетки и истинного и магнитного меридианов, численный и линейный масштабы, график заложений и указывается год издания карты (рис. 1.20).

Рис. 1.20. Нижняя часть топографической карты масштаба 1 : 10 000.