Приложения формул Тейлора и Маклорена.

Теоремы о дифференцируемых функциях.

Теорема Ферма.

Теорема Ролля.

Пусть функция определена и непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема на интервале (a;b), причем на концах интервала принимает одинаковые значения . Тогда существует точка сÎ(a;b), значения производной в которой равно 0, т.е. .

Доказательство:

b

a

Т.к. функция непрерывна на отрезке [a;b], то по II-й т. Вейерштрасса о непрерывных функциях принимает на [a;b] наибольшее М и наименьшее m значения. y

Возможны два случая:

1) М=m.

b

a

x

M

m

2) М m.

y

Хотя бы одна из точек, в которых функция принимает наибольшее или наименьшее значения, находится внутри [a;b].

В этом случае в указанной точке выполняются условия теоремы Ферма и, следовательно, существует точка c, принадлежащая (a;b), в которой производная .

Ч.т.д.

Геометрический смысл теоремы Ролля:

Þ К_кас=0 Þ касательная

в точке c параллельна оси ОX.

Теорема Лагранжа.

Правило Лопиталя.

Теорема.

Пусть функции f(x) и g(x) определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки x₀, за исключением может быть самой точки x₀, и , . Тогда если существует предел отношения производных функций , то существует предел отношения самих функций , причем они равны между собой, т.е. .

Доказательство:

Доопределим f(x) и g(x) в точке x₀, положив

f(x₀) = g(x₀) = 0.

В окрестности точки x₀, т.е. на (x₀,х) для функций f(x) и g(x) выполняются условия теоремы Коши. Следовательно, существует точка сÎ(x₀, х) такая, что

, т.к. f(x₀) = g(x₀) = 0.

Перейдем к пределу при x x₀ с x₀:

.

Ч.т.д.

Замечание. На практике при раскрытии неопределенности типа можно пользоваться правилом Лопиталя и в случаях, когда x®±¥, x®¥.

Для раскрытия неопределенностей типа существует аналог правила Лопиталя.

Теорема.

Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны и дифференцируемы в некоторой окрестности точки x₀, за исключением самой точки x₀, причем . Пусть , . Тогда если существует предел отношения производных функций , то существует предел отношения самих функций , причем они равны между собой, т.е. .

В дальнейшем это утверждение будем также называть правилом Лопиталя.

Замечание 1. Правилом Лопиталя можно пользоваться при раскрытии неопределенностей вида (¥-¥), (0×¥), (1^¥), (¥⁰), (0⁰), сводя их к неопределенностям типа , .

Замечание 2. Если после применения правила Лопиталя опять получаем неопределенность вида или , то его можно применить повторно.

Пример: Вычислить пределы по правилу Лопиталя.

1. Чтобы применять правило Лопиталя при неопределенности вида или , нужно продифференцировать отдельно числитель и знаменатель дроби, и вычислить полученный предел.

.

.

Вывод: показательная функция (y=aⁿ) всегда растет быстрее, чем степенная (у=xⁿ).

.

Вывод: логарифмическая функция (y=log_ax) растет медленнее, чем степенная.

2. Неопределенность вида (0×¥) нужно преобразовать в неопределенность вида или , опустив один из множителей в знаменатель в отрицательной степени, и потом применять правило Лопиталя.

3. При показательной неопределенности: (0⁰), (1^¥), (¥⁰); прежде чем применять правило Лопиталя, нужно прологарифмировать этот предел по основанию e.

.

= = =(0×¥)= = = =

= =0;

Þ A=e⁰=1.

Формулы Тейлора и Маклорена.

Пусть функция n раз дифференцируема в окрестности точки x₀.Найдем многочлен степени не выше n-1, такой что

, , ,…, .

Такой многочлен в некотором смысле «близок» к функции .

Будем искать этот многочлен в форме многочлена, разложенного по степеням , с неопределенными коэффициентами:

.

Неопределенные коэффициенты определим так, чтобы выполнялись перечисленные выше условия.

Найдем производные от :

;

;…

.

Подставляя вместо , находим:

, , , , … , . Отсюда

Þ , , , ,…, .

Искомый многочлен будет иметь вид:

, или

.

Этот многочлен мы будем называть многочленом Тейлора.

Теорема. Пусть функция n раз дифференцируема в окрестности точки x₀. Тогда в этой окрестности для функции справедлива следующая формула Тейлора:

+

+ .

Здесь некоторая точка, заключенная между и ( ), зависящая от , а = - остаточный член в форме Лагранжа.

Доказательство:

Обозначим через многочлен

.

Ясно, что для каждого выбранного существует такое число , для которого будет выполняться равенство:

. (1)

Покажем, что это число при уже выбранном будет равно при некотором из промежутка .

Определим функцию

.

Ясно, что

Следовательно, доказательство мы закончим, если покажем, что в некоторой точке ( ) будет выполняться равенство: .

Непосредственными вычислениями проверяется (см. многочлен Тейлора!), что для всех выполняются равенства:

(2)

Число выбрано таким образом, чтобы выполнялось равенство (1) и, следовательно, . Таким образом, для функции на промежутке

[ ] выполняются все условия теоремы Ролля. Следовательно, на интервале ( ) существует такая точка , производная функции , в которой равна нулю, то есть . Но тогда с учетом (2) теорему Ролля можно применить к функции на промежутке [ ] и так далее. Применяя, в конце концов, теорему Ролля к функции на соответствующем промежутке, получим точку , для которой будет справедливо равенство .

Утверждение доказано.

Если x₀=0, то формула Тейлора превращается в формулу Маклорена:

+

Заметим, что числа n могут выбираться различными, в зависимости и от наличия у функции производных соответствующего порядка, и от необходимой точности расчетов. Например, формула Тейлора для n=4 будет иметь вид:

Разложение некоторых элементарных функций по формуле Маклорена.

1. .

Þ ,

где .

2. .

Þ ,

где .

3. .

,…

Þ ,

где .

Пример:

Разложить функцию по формуле Маклорена, взяв 4 слагаемых.

Воспользуемся формулой Маклорена для функции , заменив x на

(-x):

.

.

Приложения формул Тейлора и Маклорена.

Формулы Тейлора и Маклорена имеют широчайшее применение, как для приближенного вычисления значений целого ряда табулированных функций таких, например, как , , и др., так и для замены сложных функций при решении практических задач многочленами.

В качестве примера приложения формулы Маклорена, определим количество членов в разложении функции по указанной формуле для вычисления ее значения с точностью до 0.001 при любом x из промежутка [-1,1].

Поскольку , то в остаточном члене величина удовлетворяет неравенству: . Следовательно,

.

Очевидно, что если мы заменим на промежутке [-1,1] функцию соответствующим многочленом Тейлора, то значения этого многочлена на указанном промежутке будут отличаться от соответствующих значений функции на величину меньшую, чем . Выбирая n из условия <0.001, мы получим, что , поскольку ( ).

Отметим, что формула Тейлора может использоваться и при вычислении пределов.

Признаки монотонности функции.