Достаточное условие экстремума.


Пусть функция определена в критической точке x0 и дифференцируема в некоторой окрестности этой точки, за исключением, может быть, самой x0. Если «при переходе» через точку x0 слева направо производная меняет знак с плюса на минус, то x0 – точка максимума; с минуса на плюс – точка минимума.

Доказательство:

Пусть производная меняет знак с «+» на «-».

Тогда слева от х0, т.е. на (х0-δ,х0) .

y
x
x0
f(x0)
x0+d
x0-d
Þ слева от х0 функция возрастает.

Справа от х0, т.е. на (х0, х0+δ) .

Þ справа от х0 функция убывает.

Т.о. в окрестности точки х0 выполняется

неравенство .

х0 – точка локального максимума.

Аналогично доказывается для минимума.

Ч.т.д.

Пример: Исследовать функцию на монотонность и найти точки экстремума.

а) .

1. Область определения функции D(y)=R.

2. .

Критические точки: . Þ , .

x (-∞;1) x=1 (1;3) x=3 (3;+∞)
+ +
возрастает max убывает min y(3)=1 возрастает

б) .

1. Область определения функции D(y): x¹-1.

2. ;

.

Критические точки: , т.е. числитель равен нулю Þ нет точек;

– не существует, т.е. знаменатель равен нулю Þ .

x (-∞;-1) x=-1 (-1;+∞)
+ не существует +
возрастает не существует возрастает

Точек экстремума нет.

 

Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

Пусть функция определена и непрерывна на замкнутом промежутке [a;b] и имеет внутри этого промежутка конечную производную.

Тогда по второй теореме Вейерштрасса она на этом отрезке принимает свои наибольшее и наименьшее значения.

Очевидно, что эти значения могут достигаться либо в критических точках, либо на концах отрезка.

Поэтому для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции применяют следующий алгоритм решения:

1. Находим критические точки функции. Отбираем те точки, которые принадлежат данному отрезку.

2. Вычисляем значения функции в найденных точках.

3. Вычисляем значения функции на концах отрезка.

4. Из полученных значений функции выбираем наибольшее и наименьшее.

Исследование функции на максимум и минимум с помощью производной второго порядка.

Пусть функция определена и непрерывна на промежутке (a;b).

Теорема.

Пусть существует и непрерывна в некоторой окрестности точки . Пусть . Если , то в точке функция имеет максимум; если , то в точке функция имеет минимум.

Доказательство:

Докажем для максимума.

Пусть . Пусть .

Так как, по условию, непрерывна в некоторой окрестности точки , то найдется некоторая окрестность , во всех точках которой вторая производная будет отрицательна.

Так как есть производная от первой производной, т.е. , то из условия следует, что убывает на промежутке, содержащем точку , т.е. в окрестности .

Так как , Тогда слева от , т.е. на (х0-δ,х0) имеем , а справа от , т.е. на (х0, х0+δ) имеем , т.е. производная «при переходе» через точку x0 слева направо меняет знак с плюса на минус. А это значит, что точка – точка максимума.

Аналогично доказывается для минимума.

Ч.т.д.

Если в критической точке , то в этой точке может быть или максимум, или минимум или не быть ни максимума, ни минимума. В этом случае исследование проводится с помощью первой производной.

Пример: Исследовать на максимум и минимум функцию.

а) .

1. Область определения функции D(y)=R.

2. .

Критические точки: . , Þ , .

3. .

x x=-1 x=3
-12
max y(-1)=12 min y(3)=-20

б) .

1. Область определения функции D(y)=R.

2. .

Критические точки: . Þ .

3. .

x (-∞;0) x=0 (0;+∞)
   
+
возрастает max y(0)=1 возрастает

Выпуклые и вогнутые функции.

Пусть функция дифференцируема на интервале (a;b). Тогда на этом интервале в каждой точке графика функции существует касательная, причем не параллельная оси OY.

Определение: Функция называется выпуклой, если ее график лежит над любой касательной, проведенной к этому графику.

Определение: Функция называется вогнутой, если ее график лежит под любой касательной, проведенной к этому графику.

На разных участках промежутка функция может быть выпуклой или вогнутой.

Признак выпуклости.

Пусть функция имеет на интервале (a;b) непрерывную производную второго порядка. Если , то функция выпукла на промежутке (a;b). Если , то функция вогнута на промежутке (a;b).

Доказательство:

Пусть для определенности на (a;b) .

Возьмем точку x0Î(a;b) и составим уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой x0:

(1)

Разложим функцию в окрестности точки x0 по формуле Тейлора, причем возьмем два члена разложения и остаточный член:

, (2)

x
y
Вычтем (2) - (1):

.

на (a;b) .

График функции проходит над касательной.

Тогда по определению: функция выпукла.

Вогнутость доказывается аналогично.

Ч.т.д.

Замечание: Условие ( ) является не только достаточным, но и необходимым для выпуклых (вогнутых) функций.

Определение: Точка, отделяющая промежуток выпуклости функции от промежутка ее вогнутости, называется точкой перегиба.

Необходимые условия существования точки перегиба функции.

Пусть функция в точке x0 имеет точку перегиба. Если в этой точке существует производная второго порядка, то она обращается в ноль или не существует.

Точки перегиба следует искать среди точек, вторая производная которых равна нулю (y²=0) или не существует. Такие точки называются критическими точками второго рода.

Достаточное условие точки перегиба функции.

Пусть непрерывна в окрестности точки , за исключением, может быть, самой точки . Если «при переходе» через меняет знак, то точка — точка перегиба.

Доказательство:

Пусть «при переходе» через точку меняет знак с «+» на «-».

+
-
x0


Тогда слева от точки — функция выпукла, а справа — вогнута. Тогда по определению: точка — точка перегиба.

Ч.т.д.

Пример: Исследовать функцию на перегиб. .

D(y)=R.

; .

Критические точки второго рода:

: ;

не существует: точек нет.

При переходе через точки вторая производная меняет знак.

Þ — точки перегиба.

 

Асимптоты графика функции.

Определение: Прямая l называется асимптотой графика функции , если расстояние от точки М на графике до прямой l стремится к нулю при удалении точки М по графику функции от начала координат.

Асимптоты бывают вертикальные, горизонтальные, наклонные.

Вертикальной асимптотой называется прямая x=a, если .

Находят вертикальную асимптоту по точкам разрыва второго рода (бесконечный разрыв).

Наклонной асимптотой называется асимптота, уравнение которой имеет вид: .

Оказывается, что если является асимптотой, то и в уравнении определяются следующим образом , .

Доказательство:

y
x
f(x)
kx+b
x
N
Q
M(x;y)
y=kx+b
асимптота
график функции


По определению асимптоты: если ОМ , то |MN| 0.

Þ |MQ|→0 при x→±∞, т.к. .

По чертежу: .

Перейдем к пределу при x→±∞:

(*)

Þ .

.

Из (*) Þ .

Ч.т.д.

Замечание 1: Чтобы у кривой были наклонные асимптоты, нужно, чтобы соответствующие пределы в определении k и b были конечными, причем предел при x→+∞ и предел при x→-∞ нужно вычислять отдельно.

Замечание 2: Если k=0, то y=b. Наклонная асимптота в этом случае называется горизонтальной.

Замечание 3: Кривая никогда не пересекает вертикальную асимптоту, а горизонтальные и наклонные асимптоты кривая может пересекать и даже бесконечное число раз.

Пример: Найти асимптоты графика функции .

D(y): x¹3.

Þ x=3 – точка разрыва.

— вертикальная асимптота.

= ;

= = = =3 Þ .

Þ — наклонная асимптота.

Схема полного исследования функции.

1. Определить естественную область D(y) определения функции.

2. Исследовать на четность и нечетность.

3. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.

4. Найти асимптоты.

5. Найти интервалы возрастания и убывания функции, точки экстремума.

6. Найти интервалы выпуклости графика, точки перегиба.

7. Построить график функции.

 

Пример:

Провести полное исследование и построить график функции .

1. Область определения функции D(y): x¹1.

2. Т.к. область определения не симметрична относительно начала координат, то функция не является ни четной, ни нечетной.

3. Точки пересечения с 0x: y=0 Þ Þ x=0 Þ точка (0, 0) – точка пересечения с осями.

4. x=1 – точка разрыва.

Вертикальная асимптота:

— вертикальная асимптота.

Наклонная асимптота: .

= ;

= = =1 Þ .

— наклонная асимптота.

5. = = .

Критические точки: , т.е. числитель равен нулю Þ , ;

– не существует, т.е. знаменатель равен нулю Þ .

x (-∞;0) x=0 (0;1) x=1 (1;2) x=2 (2;+∞)
+ не существует +
возрастает max y(0)=0 убывает не существует убывает min y(2)=4 возрастает

6.

.

Критические точки второго рода:

, т.е. числитель равен нулю Þ точек нет;

– не существует, т.е. знаменатель равен нулю Þ Þ точек перегиба нет, т.к. x=1ÏD(y).

x (-∞;1) x=1 (1;+∞)
не существует +
вогнута не существует выпукла

7. График функции:

 



Дата добавления: 2016-06-05; просмотров: 1514;


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2024 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.043 сек.