Перевірка гіпотези про закон розподілу. Критерій згоди Пірсона.


Критерієм згоди називають статистичний критерій перевірки гіпотези про закон розподілу ймовірностей випадкової величини (ознаки генеральної сукупності). Є кілька критеріїв згоди: критерій Колмогорова, критерій Смірнова, критерій Пірсона та ін.

Найбільш розповсюдженим критерієм перевірки вірогідності H про закон розподілу ознаки генеральної сукупності є критерій згоди Пірсона (критерій ), який ґрунтується на порівнянні емпіричних і теоретичних частот та визначається за формулою , де m – число інтервалів, на які поділяється статистичний розподіл вибірки; nі – частота ознаки в i –му інтервалі; пі* – теоретичні частоти, підраховані за відповідними формулами закону розподілу ймовірностей, який припускається для ознаки генеральної сукупності.

Теоретичні частоти знаходяться за формулою , де n – об’єм вибірки; pi – для дискретної випадкової величини є ймовірність події Х=х; для неперервної випадкової величини – ймовірність, що ознака Х попаде в і-ий інтервал.

Нехай висунуто гіпотезу H0 : випадкова величина Х розподілена за законом А.

Здійснивши вибірку обсягу п, знаходять і записують у вигляді таблиці інтервальний статистичний розподіл частот:

 

...
ni n1 n2 n3 ... nm

 

Оскільки перевіряється гіпотеза про те, що розподіл ознаки Х генеральної сукупності описується певною (конкретною) функцією розподілу F(x), то для кожного інтервалу можна визначити теоретичні ймовірності pi попадання значень випадкової величини Х у цей інтервал, а отже, і теоретичні частоти .

Для обчислення ймовірностей pi використовують формули:

(26)

Зазначимо, що для обчислення ймовірностей pi і pm у формулі (26) покладають, відповідно, і . Тоді .

Отримані результати обчислень зручно записати у формі таблиці:

...
ni n1 n2 n3 ... nm
pi p1 p2 P3 ... pm
n1* n2* n3* ... nm*

Згідно з критерієм Пірсона для перевірки гіпотези H0 вводиться випадкова величина (статистика) K :

На підставі даних вибірки, записаних у таблиці, обчислюють емпіричне значення критерію Пірсона:

Відомо, що при n → ∞ закон розподілу статистики K прямує до закону розподілу з k=mr−1 ступенями вільності, де m – кількість груп у статистичному розподілі вибірки; r − кількість параметрів гіпотетичного розподілу A (наприклад, r = 2 для нормального розподілу, r =1 для розподілу Пуассона, r =0 для рівномірного розподілу).

Для критерію будують правосторонню критичну область за правилом:

P{ > кр.}=a (27)

За заданим рівнем значущості α і кількістю ступенів вільності k із таблиці критичних точок розподілу (в якій дано розв’язки рівняння (27)) знаходять критичну точку kкр=(a,k).

Порівнюємо значення kкр і Кспост: якщо Кспост kкр то гіпотезу H0 відхиляють; якщо ж Кспост< kкр, то гіпотезу H0 приймають.

Застосування критерію вимагає дотримання таких умов:

1) експериментальні дані мають бути незалежними, тобто вибірка має бути випадковою;

2) обсяг вибірки має бути достатньо великим (практично не меншим ніж 50 одиниць), а частота кожної групи – не меншою за 5. Якщо остання умова не виконується, то проводиться попереднє об’єднання нечисленних груп.

Критерій згоди Пірсона дає відповідь на питання, чи розбіжність між емпіричними і теоретичними частотами зумовлена випадковістю, чи вона є значущою. Як і будь-який інший критерій він не доводить справедливостігіпотези H0, а лише дозволяє встановити на прийнятному рівні значущості узгодженість чи неузгодженість гіпотези H0, з даними спостережень.

Приклад. При рівні значущості перевірити гіпотезу про нормальний розподіл генеральної сукупності, якщо відомі емпіричні і теоретичні частоти

Емпіричні частоти, ni
Теоретичні частоти, пі*

Розв’язання

Складаємо таблицю для обчислення -критерію.

і пі*
2,25 12,25
-1 0,07 13,06
-4 0,37 35,37
-8 0,77 67,77
0,49 114,49
1,05 96,05
-7 1,29 25,28
0,07 16,07
      380,34

Контроль обчислень: – обчислення правильні.

Кількість ступенів вільності: s=8, k=s-3=5. За таблицею критичних точок -розподілу (додаток 4) за рівнем значущості і кількістю ступенів вільності k=5 знаходимо . Оскільки , то немає підстав відхилити нульову гіпотезу. Отже, розбіжність емпіричних та теоретичних частот незначуща, дані спостережень узгоджуються з гіпотезою про нормальний розподіл генеральної сукупності.



Дата добавления: 2022-02-05; просмотров: 286;


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2024 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.008 сек.