Числові характеристики ДВВ

Математичне сподівання дає відповідь на питання: „Яке значення випадкова величина приймає всередньому?”

Неважко показати, що випадкові величини з рівними математичними сподіваннями можуть суттєво відрізнятися по ступені близькості до нього.

Розглянемо випадкові величини Х та У

Очевидно М(Х)=М(У)=50. Але якщо для випадкової величини Х відхилення від значення 50 незначне, то для випадкової величини У воно суттєве.

Якщо вибір між величинами Х та У – це вибір між двома альтернативними рішеннями, то Х – це більш стабільний передбачуваний результат, а У – це ризик.

Показником такої „непередбачуваності” є ще одна числова характеристика, що називається дисперсією і позначається D(X).

Якщо від випадкової величини відняти її математичне сподівання, то отримаємо нову випадкову величину Х-М(Х). Квадрат останньої також є випадковою величиною (Х-М(Х))², математичне сподівання якої і є дисперсія випадкової величини Х.

Означення. Дисперсією дискретної випадкової називається математичне сподівання квадрата різниці випадкової величини і її математичного сподівання

D(X)=M(X-M(X))² (13)

Дисперсію зручно обчислювати за формулою:

D(X)=M(X²)-(M(X))² (14)

Ця формула випливає безпосередньо з означення після застосування властивостей математичного сподівання.

Обчислимо тепер дисперсії випадкових величин Х та У

Зауваження: математичне сподівання може бути будь-яким числом, а дисперсія завжди додатне число.

Властивості дисперсії

1. D(C)=0, C – стала величина;

2. D(CX)=C²D(X), тобто сталий множник можна винести за знак дисперсії, піднісши його до квадрату;

3. Дисперсія суми незалежних випадкових величин дорівнює сумі їх дисперсій D(X+Y)=D(X)+D(Y)

Наслідок: D(X-Y)=D(X)+D(Y).

Випадкові величини, що моделюють будь-які об’єкти реального світу, зазвичай мають розмірність (штуки, кілограми, метри і т.п.) При цьому математичне сподівання має туж розмірність, що й сама величина. А розмірність дисперсії дорівнює квадрату розмірності випадкової величини. Для того, щоб уникнути цього вводиться поняття середньоквадратичного відхилення.

Означення. Корінь квадратний з дисперсії називається середнім квадратичним відхиленням випадкової величини і обчислюється за формулою:

(15)

Дисперсія і середнє квадратичне відхилення є мірою розсіяння значень випадкової величини навколо її математичного сподівання.

Задача 3. Дано ряд розподілу дискретної випадкової величини

Знайти дисперсію та середнє квадратичне відхилення.

Розв’язання. Знайдено математичне сподівання за формулою (12): М(Х)=1·0,4+2·0,5+3·0,1=1,7.

Для знаходження математичного сподівання від квадрата можливих значень, потрібно всі можливі значення випадкової величини піднести до квадрата

М(Х²)= 1·0,4+4·0,5+9·0,1=3,3.

За формулою (14) знаходимо дисперсію D(X)= M(X²)-(M(X))²=3,3-(1,7)²=0,41.

Тоді середнє квадратичне відхилення знаходиться за формулою (15) і дорівнює .

Відповідь: 0,41; 0,64.