Неперервні випадкові величини. Щільність розподілу.
Як уже згадувалось в розділі 6.1, під неперервною випадковою величиною слід розуміти випадкову величину, яка може приймати будь-яке числове значення з деякого скінченого або нескінченного інтервалу (а;в).
Головна різниця в задачах обчислення ймовірностей для дискретних і неперервних випадків полягає в тому, що в дискретному випадку шукається ймовірність типу Х=с (випадкова величина прийме конкретне значення), а у випадку неперервної величини ймовірність такого типу дорівнює нулю, тому для її повної характеристики водять поняття інтегральної та диференціальної функції розподілу, а цікавими для нас є ймовірності подій типу а£Х£в (випадкова величина прийме значення з деякого проміжку). При цьому:
р(а£Х£в)= р(а<Х£в)= р(а£Х<в)= р(а<Х<в)
Означення. Інтегральною функцією розподілу випадкової величини Х називають функцію F(X), яка визначає ймовірність того, що випадкова величина Х прийме значення менші х ( х R), тобто
F(X) = P(X < x) (16)
Властивості інтегральної функції розподілу
1. 0≤ F(X) ≤1.
2. Функція розподілу є неспадною: якщо х1<х2, то F(х1) < F(х2).
3. Ймовірність попадання випадкової величини Х в інтервал (а;в) < .
4. Функція розподілу неперервна зліва: .
5. або < .
6. ; .
Має місце факт: ймовірність події а£Х£в рівна площі фігури, обмеженої прямими у=0, х=а, х=в і графіком функції . Тобто справедлива рівність
р(а£Х£в)= , для будь-яких а і в, а£в.
Ця рівність виконується і для загального випадку, якщо невід’ємна.
Таким чином, функція дозволяє обчислити ймовірності, пов’язані з випадковою величиною Х, тобто задає закон розподілу НВВ Х, а функцію називають диференціальною функцією розподілу або щільністю ймовірностей.
Якщо F(x) диференційована і похідна її обмежена, то випадкова величина Х, має щільність розподілу ймовірностей .
Графік функції називають кривою розподілу неперервної випадкової величини. Він може мати вигляд, зображений на рис. 4.
Дата добавления: 2022-02-05; просмотров: 291;