Задачі для самоперевірки

1. Слово складено із карток, на кожному з яких написана одна буква. Картки змішують і виймають без повернення по одній. Знайти ймовірність того, що картки із буквами виймаються в порядку послідовності букв заданого слова: а) «подія»; б) «статистика». Відповідь: а) 0,0083; б) 0,0000132.

2. П'ятитомне зібрання творів розташоване на полиці у випадковому порядку. Яка ймовірність того, що книги стоять зліва направо в порядку нумерації томів (від 1 до 5)? Відповідь: 0,0083

3. Серед 25 студентів, із яких 15 дівчат, розігруються чотири квитки, причому кожний може виграти лише один квиток. Яка ймовірність того, що серед володарів квитка опиняться: а) чотири дівчини; б) чотири хлопці; в) три хлопці і одна дівчина? Відповідь: а) 0,108; б) 0,0166; в) 0,142.

4. Із 20 філіалів Ощадбанку 10 розташовані за межею міста. Для обстеження випадковим чином відібрано 5 філіалів. Яка ймовірність того, що серед відібраних виявиться в межі міста: а) 3 філіали; б) хоча б один? Відповідь: а) 0,348; б) 0,984.

5. Із ящика, що містить 5 пар взуття, із яких три пари чоловічих, а дві пари жіночих, перекладають навмання 2 пари взуття в інший ящик, що містить однакову кількість пар жіночого і чоловічого взуття. Яка ймовірність того, що в другому ящику після цього виявиться однакова кількість пар чоловічого і жіночого взуття? Відповідь: 0,6.

6. В магазині є 30 телевізорів, причому 20 із них імпортних. Знайти ймовірність того, що серед 5 проданих протягом дня телевізорів опинилося не менше ніж 3 імпортні телевізори, припускаючи, що ймовірність покупки телевізорів різних марок однакова. Відповідь: 0,809.

7. Навмання узятий телефонний номер складається з 5 цифр. Яка ймовірність того, що в ньому всі цифри: а) різні; б) однакові; в) непарні? Відомо, що номер телефону не починається з цифри нуль. Відповідь: а) 0,0000367; б) 0,0001; в) 0,0347.

8. Для проведення змагання 16 волейбольних команд розбиті жеребкуванням на дві підгрупи (по вісім команд в кожній). Знайти ймовірність того, що дві найсильніші команди опинилися: а) в різних підгрупах; б) в одній підгрупі. Відповідь: а) 0,553; б) 0,467.

9. Студент знає 20 із 25 питань програми. Залік вважається зданим, якщо студент відповість не менше ніж на 3 із 4 поставлених в білеті питань. Поглянувши на перше питання квитка, студент виявив, що він його знає. Яка ймовірність того, що студент: а) здасть залік; б) не здасть залік? Відповідь: а) 0,901; б) 0,099.

10. Знайти ймовірність того, що із 10 книг, розташованих у випадковому порядку, 3 певних книг будуть поруч. Відповідь: 0,067.

11. В старовинній грі в кості необхідно було для виграшу отримати при киданні трьох гральних кубиків суму очок, що перевершує 10. Знайти ймовірність: а) випадання 11 очок; б) виграшу. Відповідь: а) 0,125; б) 0,5.

12. На фірмі працюють 8 аудиторів, із яких 3 — високої кваліфікації, і 5 програмістів, із яких 2 — високої кваліфікації. У відрядження треба відправити групу із 3 аудиторів і 2 програмістів. Яка ймовірність того, що в цій групі виявиться принаймні 1 аудитор високої кваліфікації і хоча б 1 програміст високої кваліфікації, якщо кожний фахівець має рівні можливості поїхати у відрядження? Відповідь: 0,575.

13. Дві особи домовилися зустрітися у визначеному місці між 18 і 19 год. і зазначили, що той хто прийде першим чекає іншого протягом 15хв., після чого йде. Знайти ймовірність їхньої зустрічі, якщо прихід кожного протягом указаної години може відбутися у будь-який час і моменти появи незалежні. Відповідь: 0,4375.

14. Яка ймовірність того, що навмання кинута в круг точка виявиться всередині вписаного в нього квадрата? Відповідь: 0,637.

15. При прийомі партії виробів піддається перевірці половина виробів. Умова приймання — наявність браку у вибірці менше 2%. Обчислити ймовірність того, що партія із 100 виробів, що містить 5% браку, буде ухвалена. Відповідь: 0,0281.

16. За результатами перевірки контрольних робіт виявилося, що в першій групі отримали позитивну оцінку 20 студентів із 30, а в другий — 15 із 25. Знайти ймовірність того, що навмання вибрана робота, що має позитивну оцінку, написана студентом першої групи. Відповідь: 0,571.

17. Експедиція видавництва відправила газети в три поштові відділення. Ймовірність своєчасної доставки газет в перше відділення рівна 0,95, в друге відділення – 0,9 і в третє – 0,8. Знайти ймовірність наступних подій: а) лише одне відділення отримає газети вчасно; б) хоча б одне відділення отримає газети із запізненням. Відповідь: а) 0,032; б) 0,316.

18. Прилад, працюючий протягом часу t, складається з трьох вузлів, кожний з яких незалежно від інших може за цей час вийти з ладу. Несправність хоча б одного вузла виводить прилад з ладу цілком. Ймовірність безвідмовної роботи протягом часу t першого вузла рівна 0,9, другого — 0,95, третього — 0,8. Знайти ймовірність того, що протягом часу t прилад вийде з ладу. Відповідь: 0,316.

19. Студент розшукує потрібну йому формулу в трьох довідниках. Ймовірність того, що формула міститься в першому, другому і третьому довідниках, рівна відповідно 0,6, 0,7 і 0,8. Знайти ймовірність того, що ця формула міститься не менше ніж в двох довідниках. Відповідь: 0,788.

20. Зроблено три постріли по цілі із знаряддя. Ймовірність попадання при першому пострілі рівна 0,75; при другому — 0,8; при третьому — 0,9. Визначити ймовірність того, що буде: а) три попадання; б) хоча б одне попадання. Відповідь: 0,54; б) 0,995.

21. Ймовірність своєчасного виконання студентом контрольної роботи по кожній з трьох дисциплін рівна відповідно 0,6, 0,5 і 0,8. Знайти ймовірність своєчасного виконання контрольної роботи студентом: а) по двох дисциплінах; б) хоча б по двох дисциплінах. Відповідь: а) 0,46; б) 0,7.

22. Майстер обслуговує 4 верстата, працюючих незалежно один від одного. Ймовірність того, що перший верстат протягом зміни потребуватиме уваги робітника, рівна 0,3, другий — 0,6, третій –0,4 і четвертий — 0,25. Знайти ймовірність того, що протягом зміни хоча б один верстат не потребуватиме уваги майстра. Відповідь: 0,982.

23. Контролер, перевіривши якість зшитих 20 пальт, встановив, що 16 із них першого ґатунку, а інші — другого. Знайти ймовірність того, що серед узятих навмання із цієї партії трьох пальт одне буде другого ґатунку. Відповідь: 0,421.

24. Серед 20 поступивших в ремонт годинників 8 потребують загального чищення механізму. Яка ймовірність того, що серед узятих одночасно навмання 3 годинників принаймні двоє потребують загального чищення механізму? Відповідь: 0,344.

25. Серед 15 ламп 4 стандартні. Одночасно беруть навмання 2 лампи. Знайти ймовірність того, що хоча б одна з них нестандартна. Відповідь: 0,476.

26. В коробці змішані електролампи однакового розміру і форми: по 100 Вт – 7 штук, по 75 Вт – 13 штук. Вийнято навмання 3 лампи. Яка ймовірність того, що: а) вони однакової потужності; б) хоча б дві із них по 100 Вт? Відповідь: а) 0,282; б) 0,270.

27. В коробці 10 червоних, 3 синіх і 7 жовтих олівців, навмання виймають 3 олівця. Яка ймовірність того, що вони всі: а) різних кольорів; б) одного кольору? Відповідь: а) 0,184; б) 0,137.

28. Брак в продукції заводу внаслідок дефекту А складає 4%, а внаслідок дефекту В – 3,5%. Придатна продукція заводу складає 95%. Знайти ймовірність того, що: а) серед продукції, що не має дефекту А, зустрінеться дефект В; б) серед забракованої по ознаці А продукції зустрінеться дефект В. Відповідь: а) 0,0104; б) 0,625.

29. Пакети акцій, що є на ринку цінних паперів, можуть дати прибуток власнику із ймовірністю 0,5 (для кожного пакету). Скільки пакетів акцій різних фірм потрібно придбати, щоб із ймовірністю, не меншою 0,96875, можна було чекати прибуток хоча б по одному пакету акцій? Відповідь: не менше п’яти пакетів.

30. Скільки разів потрібно провести випробування, щоб із ймовірністю, не меншою Р, можна було стверджувати, що принаймні один раз відбудеться подія, ймовірність якої в кожному випробуванні рівна р? Дати відповідь при р= 0,4 і Р = 0,8704. Відповідь: п³lg(1-p)/lg(1-Р); п³4.

31. На полиці стоять 10 книг, серед яких 3 книг по теорії ймовірністі. Навмання беруться три книги. Яка ймовірність того, що серед відібраних хоча б одна книга по теорії ймовірністі? Відповідь:0,708.

32. На зв'язці 5 ключів. До замка підходить лише один ключ. Знайти ймовірність того, що потрібно не більше дві спроби щоб відчинити замок, якщо випробовуваний ключ в подальших випробуваннях не бере участь. Відповідь:0,4.

33. В магазині продаються 10 телевізорів, 3 із них мають дефекти. Яка ймовірність того, що відвідувач купить телевізор, якщо для вибору телевізора без дефектів знадобляться не більше три спроби? Відповідь: 0,992.

34. Радист тричі викликає кореспондента. Ймовірність того, що буде прийнятий перший виклик, рівна 0,2, другий – 0,3, третій – 0,4. Події, що полягають в тому, що даний виклик буде почутий, незалежні. Знайти ймовірність того, що кореспондент почує виклик радиста. Відповідь: 0,664.

35. Страхова компанія розділяє застрахованих по класах ризику: I клас – малий ризик, II клас – середній, III клас – великий ризик. Серед цих клієнтів 50% – першого класу ризику, 30% – другого і 20% – третього. Ймовірність необхідності виплачувати страхову винагороду для першого класу ризику рівна 0,01, другого – 0,03, третього – 0,08. Яка ймовірність того, що: а) застрахований отримає грошову винагороду за період страхування; б) застрахований, що отримав грошову винагороду, відноситься до групи малого ризику? Відповідь: а)0,03; б) 0,167.

36. В даний район вироби поставляються трьома фірмами в співвідношенні 5:8:7. Серед продукції першої фірми стандартні вироби складають 90%, другої – 85%, третьої – 75%. Знайти ймовірність того, що: а) придбаний виріб виявиться нестандартним; б) придбаний виріб виявився стандартним. Яка ймовірність того, що його виготовлено третьою фірмою? Відповідь: а)0,1725; б) 0,8275; 0,317.

37. Два стрільці зробили по одному пострілу в мішень. Ймовірність попадання в мішень для першого стрільця рівна 0,6, а для другого – 0,3. В мішені виявилася одна пробоїна. Знайти ймовірність того, що вона належить першому стрільцю. Відповідь: 0,667.

38. Вся продукція цеху перевіряється двома контролерами, причому перший контролер перевіряє 55% виробів, а другий – інші. Ймовірність того, що перший контролер пропустить нестандартний виріб, рівна 0,01, другий – 0,02. Узятий навмання виріб, маркірований як стандартний, виявився нестандартним. Знайти ймовірність того, що цей виріб перевірявся другим контролером. Відповідь: 0,621.

39. Ймовірність виготовлення виробу із браком, на даному підприємстві рівна 0,04. Перед випуском виріб піддається спрощеній перевірці, яка у разі бездефектного виробу пропускає його із ймовірністю 0,96, а у разі виробу із дефектом – із ймовірністю 0,05. Визначити: а) яка частина виготовлених виробів виходить з підприємства; б) яка ймовірність того, що виріб, що витримав спрощену перевірку, бракований? Відповідь: а)0,9236; б) 0,0022.

40. В одній урні 5 білих і 6 чорних куль, а в інший — 4 білих і 8 чорних куль. ІЗ першої урни випадковим чином виймають 3 кулі і опускають в другу урну. Після цього із другої ¦урни також випадково виймають 4 кулі. Знайти ймовірність того, що всі кулі, вийняті із другої урни, білі. Відповідь: 0,0073.

41. Із п екзаменаційних білетів студент А підготував лише т (т < п). В якому випадку ймовірність витягнути на іспиті «хороший» для нього білет вище: коли він бере навмання білет першим, або другим ..., або к-м (до < п) по порядку серед складаючих екзамен? Відповідь: Ймовірність одна і таж т/п.

42. До ліфта семиповерхового будинку на першому поверсі увійшли три людини. Кожна з них із однаковою ймовірність виходить на будь-якому з поверхів, починаючи з другого. Знайти ймовірність того, що всі пасажири вийдуть: а) на четвертому поверсі; б) на одному і тому ж поверсі; в) на різних поверхах. Відповідь: а) 0,0046; б) 0,028; в) 0,093.

43. Батарея, що складається з 3 снарядів, веде вогонь по групі, що складається з 5 літаків. Кожен снаряд вибирає собі ціль випадково і незалежно від інших. Знайти ймовірність того, що всі снаряди будуть стріляти: а) по одній і тій же цілі; б) по різних цілях. Відповідь: а) 0,04; б) 0,48.

44. 20 чоловік у випадковому порядку розсаджуються за столом. Знайти ймовірність того, що дві фіксовані особи А і В опинилися поруч, якщо: а) стіл круглий; б) стіл прямокутний, а 20 чоловік розсаджуються випадково вздовж однієї з його сторін. Відповідь: а) 0,105; б) 0,1.

45. Є коробка із дев'ятьма новими тенісними м'ячами. Для гри беруть три м'ячі; після гри їх кладуть назад. При виборі м'ячів гральні від негральних не відрізняються. Яка ймовірність того, що після трьох ігор в коробці не залишиться невикористаних м'ячів? Відповідь:0,0028

46. Завод випускає певного типу вироби; кожний виріб має дефект із ймовірністю 0,7. Після виготовлення виріб оглядається послідовно трьома контролерами, кожний з яких виявляє дефект із ймовірність 0,8; 0,85; 0,9 відповідно. У разі виявлення дефекту виріб бракується. Визначити ймовірність того, що виріб: 1) буде забраковано; 2) буде забраковано: а) другим контролером, б) всіма контролерами. Відповідь: 1) 0,6979; б) 0,119; в) 0,4284.

47. Із повної колоди карт (52 карт) вибирають шість карт; одну з них дивляться; вона виявляється тузом, після чого її змішують із іншими вибраними картами. Знайти ймовірність того, що при другому витяганні карти із цих шести ми знов отримаємо туз. Відповідь: 0,216.

48. В урні дві білі і три чорні кулі. Два гравці по черзі виймають із урни по кулі, не повертаючи їх назад. Виграє той, хто раніше отримає білу кулю. Знайти ймовірність того, що виграє перший гравець. Відповідь: 0,6.

49. Проводяться випробування приладу. При кожному випробуванні прилад виходить із ладу із ймовірність 0,8. Після першого виходу із ладу прилад ремонтується; після другого визнається непридатним. Знайти ймовірність того, що прилад остаточно вийде з ладу в точності при четвертому випробуванні. Відповідь: 0,0768.

50. Є 50 екзаменаційних білетів, кожний з яких містить два питання. Студент знає відповідь не на всі 100 питань, а лише на 60. Визначити ймовірність того, що екзамен буде складеним, якщо для цього достатньо відповісти на обидва питання із свого квитка, або на одне питання із свого квитка і на одне (по вибору викладача) питання із додаткового квитка. Відповідь: 0,504.

51. Прилад складається з двох вузлів: робота кожного вузла безумовно необхідна для роботи приладу в цілому. Надійність (ймовірність безвідмовної роботи протягом часу t) першого вузла рівна 0,8, другого — 0,9. Прилад випробовувався протягом часу t, внаслідок чого виявлено, що він вийшов з ладу (відмовив). Знайти ймовірність того, що відмовив лише перший вузол, а другий справний. Відповідь: 0,643.

52. В групі із 10 студентів, що прийшли на екзамен, 3 – підготовлені відмінно, 4 – добре, 2 – посередньо і 1 – погано. В екзаменаційних білетах є 20 питань. Відмінно підготовлений студент може відповісти на всі 20 питань, добре підготовлений – на 16, посередньо – на 10, погано – на 5. Викликаний навмання студент відповів на три довільно заданих питання. Знайти ймовірність того, що студент підготовлений: а) відмінно; б) погано. Відповідь: а) 0,579; б) 0,002.

53. А, В, С, D — деякі події. Спростити вираз Е = (А + В)(АВ + С) + С + (А + В)(D + Е). Відповідь: А+В + .

54. 12 студентів, серед яких Іванов і Петров, займають чергу в бібліотеку. Яка ймовірність того, що між ними в черзі, що утворилася, опинилося рівно 5 чоловік? Відповідь: 0,09.

55. Ймовірність малому підприємству бути банкротом за час t рівна 0,2. Знайти ймовірність того, що із шести малих підприємств за час t збережуться: а) два; б) більше двох. Відповідь: а) 0,015; б) 0,999.

56. В середньому п'ята частина автомобілів, що поступають, в продаж не комплектовані. Знайти ймовірність того, що серед десяти автомобілів будуть не комплектованими: а) три автомобілі; б) менше трьох. Відповідь: а) 0,201; б) 0,678.

57. Проводиться залп із шести знарядь по деякому об'єкту. Ймовірність попадання в об'єкт із кожного знаряддя рівна 0,6. Знайти ймовірність ліквідації об'єкта, якщо для цього необхідно не менше чотири попадання. Відповідь: 0,544.

58. В середньому по 15% договорів страхова компанія виплачує страхову суму. Знайти ймовірність того, що із десяти договорів із настанням страхового випадку буде пов'язано з виплатою страхової суми: а) три договори; б) менше двох договорів. Відповідь: а) 0,1298; б) 0,544.

59. Передбачається, що 10% нових малих підприємств, що відкриваються, припиняють свою діяльність протягом року. Яка ймовірність того, що із шести малих підприємств не більше двох протягом року припинять свою діяльність? Відповідь: 0,5984.

60. В сім'ї десять дітей. Вважаючи ймовірність народження хлопчика і дівчати рівними між собою, визначити ймовірність того, що в даній сім'ї: а) не менше трьох хлопчиків; б) не більше трьох хлопчиків. Відповідь: а) 0,945; б) 0,172.

61. Два рівносильні противники грають в шахи. Що більш ймовірно: а) виграти 2 партій із 4 або 3 партій із 6; б) не менше 2 партій із 6 або не менше 3 партій із 6? (Нічиї в розрахунок не приймаються.) Відповідь: а) 2 партії з 4, б) не менше двох партій з чотирьох.

62. В банк відправлено 4000 пакетів грошових знаків. Ймовірність того, що пакет містить недостатнє або надмірне число грошових знаків, рівна 0,0001. Знайти ймовірність того, що при перевірці буде виявлено: а) три помилково укомплектованих пакети; б) не більше ніж три пакети. Відповідь: а) 0,0072; б) 0,9992.

63. Будівельна фірма, що займається будівництвом літніх котеджів, розкладає рекламні листки по поштових ящиках. Колишній досвід роботи компанії показує, що приблизно в одному випадку із двох тисяч слідує замовлення. Знайти ймовірність того, що при розміщенні 100 тис. листків число замовлень буде: а) рівно 48; б) знаходитися у межах від 45 до 55. Відповідь: а) 0,054; б) 0,522.

64. У вузі навчається 3650 студентів. Ймовірність того, що день народження студента доводиться на певний день року, рівна 1/365. Знайти: а) найвірогідніше число студентів, що народилися 1 травня, і ймовірність такої події; б) ймовірність того, що принаймні 3 студента має один і той же день народження. Відповідь: а) 10; б) 0,1251; 0,9971.

65. Підручник виданий тиражем 10 000 екземплярів. Ймовірність того, що екземпляр підручника зброшурований неправильно, рівна 0,0001. Знайти ймовірність того, що: а) тираж містить 5 бракованих книг; б) принаймні 9998 книг зброшуровано правильно. Відповідь: а) 0,0031; б) 0,9197.

66. Два баскетболісти роблять по 3 кидка м'ячем в кошик. Ймовірність попадання м'яча в кошик при кожному кидку рівна відповідно 0,6 і 0,7. Знайти ймовірність того, що: а) у обох буде однакова кількість попадань; б) у першого баскетболіста буде більше попадань, ніж у другого. Відповідь: а) 0,321; б) 0,243.

67. Відомо, що в середньому 60% всього числа телефонних апаратів, що виготовляються, заводом є продукцією першого ґатунку. Чому рівна ймовірність того, що у виготовленій партії виявилося:

а) 6 апаратів першого ґатунку, якщо партія містить 10 апаратів;

б) 120 апаратів першого ґатунку, якщо партія містить 200 апаратів?

Відповідь: а) 0,251; б) 0,0576.

68. Ймовірність того, що перфокарта набита оператором невірно, рівна 0,1. Знайти ймовірність того, що: а) із 200 перфокарт правильно набитих буде не менше 180; б) у того ж оператора із десяти перфокарт буде невірно набитих не більше двох. Відповідь: а) 0,5; б) 0,930.

69. Аудиторну роботу по теорії ймовірністі з першого разу успішно виконують 50% студентів. Знайти ймовірність того, що із 400 студентів роботу успішно виконають: а) 180 студентів, б) не менше 180 студентів. Відповідь: а) 0,0054; б) 0,977.

70. При обстеженні статутних фондів банків встановлено, що п'ята частина банків має статутний фонд понад 100 млн грн. Знайти ймовірність того, що серед 1800 банків має статутний фонд понад 100 млн грн: а) не менше 300; б) від 300 до 400 включно. Відповідь: а) 0,998; б) 0,906.

71. Скільки потрібно узяти деталей, щоб найвірогідніше число придатних деталей було рівне 50, якщо ймовірність того, що навмання узята деталь буде бракованою, рівна 0,1? Відповідь: 55.

72. Ймовірність того, що пасажир спізниться до відправлення потягу, рівна 0,01. Знайти найвірогідніше число спізнення із 800 пасажирів і ймовірність такого числа спізнення. Відповідь: 8; 0,1396.

73. Студент даного вузу по рівню підготовленості із ймовірністю 0,3 є «слабим», із ймовірність 0,5 — «середнім», із ймовірність 0,2 — «сильним». Яка ймовірність того, що із навмання вибраних 6 студентів вузу: а) число «слабих» «середніх» і «сильних» виявиться однаковим; б) число «слабих» і сильних» виявиться однаковим? Відповідь: 0,3235.