Лекция 6. Комплексные числа и действия над ними. Функции комплексного переменного. Предел и непрерывность. Элементарные функции комплексного переменного и действия над ними

Комплексные числа и действия над ними были определены ранее (см. лекцию 4). Напомним их. Комплексными числами называют числа вида где и – действительные числа, мнимая единица ( ). При этом число называется действительной частью, а число – мнимой частью комплексного числа . Число называется сопряженным к числу а неотрицательное число называется модулем числа . Множество всех комплексных чисел обозначают буквой . P1.eps Каждому комплексному числу соответствует единственная точка на плоскости или радиус-вектор этой точки. При этом ось называется действительной осью, с ось – мнимой осью. Сама плоскость называется комплексной плоскостью; ее тоже обозначают буквой . Угол называется аргументом комплексного числа . Ясно, что аргумент определяется неоднозначно. Главным значением аргумента называется угол лежащий в пределах (или в пределах ). Главное значение аргумента обозначается так: . Из рис. 1 видно, что Значит, комплексное число можно записать еще в виде Эта форма называется тригонометрической формой числа , а его первоначальная форма –алгебраической формой комплексного числа . Если воспользоваться формулой Эйлера то можно получить еще одну форму комплексного числа называемую показательной формой числа[3] Два комплексных числа называются равными, если равны одновременно порознь действительные и мнимые части этих чисел, т.е.

Действия над комплексными числами определяются равенствами:

Умножение комплексных чисел (и их деление) лучше производить в тригонометрической форме:

(эти формулы легко получить, используя равенства 1–2). Отсюда вытекает следующее равенство

Действительно, применяя первую из предыдущих формул раз, будем иметь

1. Извлечение корня й степени из комплексного числа. Множества в комплексной плоскости

Равенство (1) называется формулой Муавра. Используя его, можно вывести формулу извлечения корня й степени из комплексного числа. Однако для этого надо ввести сначала понятие корня.

Определение 1.Корнем й степени из комплексного числа называется такое комплексное число я степень которого равна Обозначение:

Таким образом, Пусть Имеем (при )

Значит, Изменяя здесь видим, что различные значения корня й степени получаются при Дальнейшее изменение привело бы к уже полученным значениям Если же то, очевидно, Мы доказали следующий результат.

Теорема 1. Если то корень имеет ровно различных значений: Если то имеет только одно значение, равное нулю.

Например,

Приведем примеры простейших множеств точек на комплексной плоскости:

а) – окружность с центром в точке радиусом ;

б) – открытый круг с центром в точке радиусом ;

в) – внешность открытого круга с центром в точке радиусом ;

г) – открытое кольцо с центром в точке ;

д) – луч с началом в точке , идущий под углом к положительному направлению действительной оси;

е) – внутренность неограниченного открытого сектора с вершиной в точке и углом ;

ж) – прямая, параллельная мнимой оси, проходящая через точку ;

з) – прямая, параллельная действительной оси, проходящая через точку

и) вертикальная полоса между прямыми и

к) горизонтальная полоса между прямыми и

Рекомендуем сделать рисунки всех перечисленных множеств. В качестве упражнения попробуйте записать аналитичеcки (в виде уравнений или неравенств) приводимые ниже множества на комплексной плоскости.

Рис. 2

Понятие окрестности точки вводится также, как и в действительном анализе.

Определение 2. окрестностью точки называется открытый круг

с центром в точке радиуса Проколотой окрестностью точки называется множество

Определение 3.Точка называется внутренней точкой множества если она входит в вместе с некоторой своей окрестностью. Если все точки множества внутренние, то называется открытым множеством.

Определение 4.Точка называется граничной точкой множества если в любой окрестности этой точки имеются как точки, принадлежащие так и точки, не принадлежащие Множество всех граничных точек образует границу Обозначение:

Определение 5.Множествоназывается связным, если любые две его точки можно соединить непрерывной кривой, не выходя из Множествоназывается односвязным, если любой замкнутый контур, лежащий в можно стянуть в точку, не выходя из И, наконец, множество называется связным, если его граница состоит из попарно не пересекающихся между собой замкнутых контуров.

Определение 6.Любое открытое связное множество называется областью. Область называется ограниченной, если существует круг, охватывающий область В противном случае область называется не ограниченной.

Пусть и две области на комплексной плоскости причем находится в плоскости а в плоскости

Определение 7. Говорят, что задана функция отображающая область в область если каждому числу поставлено в соответствие одно или несколько комплексных чисел по закону При этом называется областью определения функции Если каждому поставлено в соответствие единственное число то говорят, что функция однозначна; в противном случае функция многозначна. Функция называется однолистной в области если

Например, функция однозначная, но не однолистная, а функция трёхзначная. Функция однозначная и однолистная.

Поскольку каждое комплексное число вполне определяется своей действительной и мнимой частью, то функцию комплексной переменной можно записать в виде

Например, функцию можно записать в указанном виде, если в ней выделить действительную и мнимую части: Здесь Частные типы комплексных функций:

а) комплексная последовательность:

б) комплексная функция действительного аргумента:

С последней функцией мы встречались в главе 4 при рассмотрении комплексных решений дифференциальных уравнений. Такие функции часто используются при задании кривых в комплексной плоскости. Например, уравнение описывает уравнение окружности в плоскости радиуса и с центром в точке