Алгоритм 2 (метода подбора)

Пусть требуется найти частное решение уравнения

с постоянными коэффициентами и с неоднородностью , являющейся квазимногочленом (15). Для этого надо сделать следующее:

1) составить спектральное значение правой части уравнения (16);

2) если спектральное значение не является корнем характеристического уравнения

то частное решение следует искать в виде

где и –- многочлены (с неопределенными коэффициентами) степени ;

3) если спектральное значение является корнем кратности хаpактеристического уравнения , то частное решение следует искать в виде

где и – многочлены (с неопределенными коэффициентами) степени ;

4) для вычисления неопределенных коэффициентов надо подставить функцию (17) (или (18)) в уравнение (16), сократить его обе части на экспоненту и произвести приравнивание коэффициентов в обеих частях при одинаковых а затем решить полученную линейную систему алгебраических уравнений относительно неопределенных коэффициентов.

Заметим, что если спектральное значение является корнем характеристического уравнения , то говорят, что в уравнении (16) имеет место резонанс.

Мы не будем заниматься обоснованием этого алгоритма. Такое обоснование можно найти во многих учебных пособиях по обыкновенным дифференциальным уравнениям (см., например, [1]). Покажем, как он работает на практике. Отметим, что при применении алгоритма 2 часто используется следующий принцип суперпозиции.

Принцип суперпозиции. Если правая часть уравнения

является линейной комбинацией непрерывных на отрезке функций ( т.е. если то линейная комбинация решений уравнений является решением уравнения (19) (здесь числа могут быть и комплексными).

Действительно, в силу линейности оператора из тождеств

вытекает тождество

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 4. Найти общее решение уравнения

Решение.Так как в правой части (20) нет , то и поскольку в правой части нет синусов и косинусов, то . Значит, спектральное значение правой части равно Характеристическое уравнение имеет два различных чисто мнимых корня и спектральное значение oтличается от них, поэтому частное решение неоднородного уравнения (20) следует искать в виде

(т.е. в таком же виде, что и правая часть уравнения (20)). Для вычисления неопределенных коэффициентов надо подставить (21) в (20) и произвести приравнивание коэффициентов при oдинаковых степенях . Вычислим сначала производные от многочлена (21): Значит, Приравнивание коэффициентов дает:

Подставляя найденные коэффициенты в (21), найдем окончательно частное решение неоднородного уравнения (20): Поскольку корни характеристического уравнения различны, то общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид а значит общее решение исходного уравнения (20) запишется в форме

Пример 5. Найти общее решение уравнения

Решение. Найти общее решение соответствующего однородного уравнения не составляет труда, так как здесь корни характеристического уравнения различны: Оно имеет вид Займемся вычислением частного решения неоднородного уравнения (22). Поскольку в правой части нет экспоненты и синусов и косинусов, то спектральное значение Оно является корнем характеристического уравнения кратности Согласно п.3 алгоритма 2 частное решение неоднородного уравнения (22) следует искать в виде

Вычисляя производные функции (23) и подставляя ее в (22), будем иметь Приравнивая здесь коэффициенты при одинаковых степенях получаем

Подставляя и в (23), найдем частное решение уравнения (22) в виде а значит, общее решение этого уравнения запишется в форме

Пример 6.Решить уравнение

Решение. Спектральное значение правой части равно , так как , а синусы и косинусы отсутствуют. Характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня: и . Так как спектральное значение не является коpнем характеристического уравнения, то частное решение уравнения (24) следует искать в виде (см. п.2 алгоритма 2):

Для составления уравнений относительно неопределенных коэффициентов и , найдем производные функции (25):

Следовательно,

Сокращая здесь экспоненту, получаем тождество

Приpавнивание коэффициентов дает:

Подставляя , и в (25), получаем частное решение в виде При этом общее решение соответствующего однородного yравнения строится по корням и характеристического уравнения следующим образом: а значит, общее решение неоднoродного уравнения (24) запишется в виде

Пример 7. Построить общее решение уравнения

и найти его интегральную кривую, удовлетворяющую начальным условиям

Решение.Здесь правая часть не является квазиполиномом вида (17), поэтому сразу воспользоваться алгоритмом 2 нельзя. Разобьем уравнение (26) на два уравнения

к которым можно применить метод подбора. Если будут найдены частные решения и этих уравнений, то, согласно принципу суперпозиции, частное решение исходного уравнения (26) будет иметь вид

Займемся поиском частного решения уравнения (27). Спектральное значение его правой части равно так как в (27) отсутствуют синусы и косинусы. Характеристическое уравнение имеет два различных корня Спектральное значение не совпадает с ними, и поэтому частное решение уравнения (27) следует искать в виде (см. п.2 алгоритма 21) Подставляя это в уравнение (27), имеем Значит,

Спектральное значение правой части уравнения (28) равно Оно является корнем кратности характеристического уравнения, поэтому частное решение уравнения (28) следует искать в виде (см. п.3 алгоритма 2): Вычисляя производные

и подставляя их в уравнение (28), получаем тождество

или Приравнивая здесь коэффициенты при и , получаем

Значит, частное решение уравнения (28) имеет вид Согласно принципу суперпозиции частное решение уравнения (26) является суммой частных решений и т.е.

Пo корням характеристического уравнения строим общее решение соответстующего однородного уравнения и общее решение исходного неоднородного уравнения (28):

Найдем теперь интегральную кривую, удовлетворяющую начальным условиям Дифференцируя (29), найдем, что

Подчиняя (29) и (30) начальным условиям будем иметь

Cледовательно, искомая интегральная кривая задаётся уравнением

Замечание. Частное решение уравнення (26) можно вычислить с помощью интеграла (см. ):