Кинематика и динамика
Механика – раздел физики, в котором изучается механическое движение, причины, вызывающие это движение, и происходящие при этом взаимодействия между телами.
Механическое движение – изменение с течением времени взаимного положения тел или их частей (частиц) в пространстве.
Кинематика – раздел механики, в котором изучают геометрические свойства движения и взаимодействия тел в не связи с причинами их порождающими.
Физические модели (научные абстракции) классической механики:
1) материальная точка – протяженное тело, размерами которого в условиях данной задачи можно пренебречь, обладающее массой. Понятие применимо при поступательном движении или когда в изучаемом движении можно пренебречь вращением тела вокруг его центра масс;
2) абсолютно твердое тело – тело, расстояние между двумя любыми точками которого в процессе движения остается неизменным. Применимо, когда можно пренебречь деформацией тела;
3) сплошная изменяемая среда – понятие применимо при изучении движения изменяемой среды (деформируемого твердого тела, жидкости, газа), когда можно пренебречь молекулярной структурой среды.
Система единиц измерения физических величин – совокупность основных и производных эталонов. В настоящее время предпочтительной во всех областях науки и техники является система СИ.
В системе СИ единицами измерения являются:1) основные – единица измерения длины (L) – 1 м; единица измерения массы (M) – 1 кг; единица измерения времени (T) – 1 с; единица измерения температуры (Т) – 1 К; единица измерения силы тока (I) – 1 А; единица измерения силы света (I) – 1 св.; 2) дополнительные – единица измерения плоского угла – 1 рад; единица измерения телесного угла – 1 стерад.
Тело отсчета – произвольно выбранное, условно неподвижное тело, по отношению к которому рассматривается движение данного тела.
Система отсчета – произвольная система координат, связанная с телом отсчета, например: а) прямоугольная, трехмерная система координат, в точке пересечения осей которой помещают тело отсчета; б) полярная система координат, положение материальной точки (тела) в которой задается радиус – вектором r и углами j, q.
Траектория движения – совокупность последовательных положений материальной точки (тела) в процессе ее движения.
Поступательное движение – движение, при котором тело перемещается параллельно самому себе. При этом все точки тела описывают одинаковые траектории, смещенные относительно друг друга.
Положение материальной точки (тела) в прямоугольной системе отсчета в данный момент времени может быть определено: с помощью координат x, y, z – M(x,y,z); с помощью радиус – вектораr и естественным (траекторным) способом (рис. П1. 1).
Уравнения движения материальной точки (тела) в кинематике:
x = f1(t); y = f2(t); z = f3(t);
rx = f1(t); ry = f2(t); rz = f3(t),
где x, y, z – координаты;
rx, ry, rz – проекции радиуса вектора rна соответствующие оси координат.
Основные понятия и определения кинематики материальной точки и твердого тела, движущегося поступательно:
1) перемещение (рис. П1.2) – вектор Dr, проведенный из начального положения материальной точки (тела) в положение этой точки в данный момент времени (приращение радиус-вектора за рассматриваемый промежуток времени):
Dr= r1 – r2.
2) элементарное перемещениеdr –бесконечно малое перемещение, которое с достаточной степенью точности совпадает с соответствующим участком траектории движения. При прямолинейном движении вектор перемещения совпадает с соответствующим участком траектории и модуль перемещения численно равен пройденному пути:
½Dr½= DS;
3) путь – расстояние, пройденное телом при его движении по траектории. В частных случаях перемещение и путь могут совпадать;
4) мгновенная линейная скорость – векторная физическая величина, характеризующая состояние движения, показывающая, как изменяется перемещение в единицу времени, равная первой производной от перемещения по времени:
;
5) средняя скорость неравномерного движения – скалярная физическая величина, численно равная отношению всего пути, пройденного телом (материальной точкой), к тому промежутку времени, в течение которого совершалось движение:
;
6) линейное ускорение – векторная физическая величина, характеризующая изменение скорости в единицу времени, равная первой производной от скорости или второй производной от перемещения по времени:
;
7) тангенциальное ускорение аt – составляющая ускорения, направленная вдоль касательной к траектории движения. Изменяет линейную скорость только по величине:
;
8) нормальное ускорение an – составляющая линейного ускорения, направленная по нормали n к вектору линейной скорости, т.е. к касательной в данной точке:
,
где R – радиус кривизны траектории движения;
n – единичный вектор нормали к траектории движения;
9) полное ускорение a:
.
10) среднее ускорение при неравномерном движении
.
Принцип относительности Галилея (в классической механике) – никакие опыты, проводимые в инерциальных системах отсчета с механическими приборами, не позволяют установить, покоится система отсчета или движется равномерно и прямолинейно по отношению к другой инерциальной системе отсчета. Предполагается, что время не зависит от относительного движения систем отсчета.
Преобразования Галилея определяют положение произвольной материальной точки в двух инерциальных системах отсчета, одна из которых движется со скоростью vo относительно другой (при условии, если направление скорости v0 совпадает с направлением ro):
r = r' + r0 = r' + vot; t = t',
где rи r' – радиус-векторы, определяющие положение материальной точки в неподвижной и подвижной системе отсчета в данный момент времени;
ro – радиус вектор, определяющий положение начала координат системы К' (подвижной) в системе К (неподвижной).
В проекциях на оси координат в произвольный момент времени t положение выбранной точки в системе К можно определить так:
x = x' + v0xt, x' = x – v0xt,
у = у' + v0уt, у' = у – v0уt,
z = z' + v0zt, z' = z – v0zt,
t = t'. t = t'.
Ковариантные или инвариантные уравнения – уравнения, обе части которых при переходе от одной системы координат к другой преобразуются одинаково и сохраняют свой вид во всех инерциальных системах отсчета.
Закон сложения скоростей в классической механике:
v= v' + v0.
Относительное расстояние между выбранными точками пространства в системах отсчета определяется соотношением – они абсолютны, т.е. инвариантны:
1) в подвижной:
;
2) в неподвижной:
.
Инварианты преобразований – инвариантные величины (расстояния между телами (точками), промежутки времени между событиями, относительные скорости тел, ускорения).
Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси –движение, при котором какие-либо две его точки остаются неподвижнымив процессе движения. Прямая, проходящая через эти точки, – ось вращения; все остальные точки твердого тела описывают окружности в плоскостях, перпендикулярных к оси вращения, центры которых лежат на этой оси (рис. П1.3).
Основные кинематические характеристики вращательного движения (рис. П1.4):
1) угол поворотаDj – угол, отсчитанный между двумя последовательными положениями радиуса R;
2) угловая скорость w – векторная физическая величина, показывающая, как изменяется угол поворота Dj в единицу времени, численно равная первой производной от угла поворота по времени. Вектор угловой скорости направлен вдоль оси вращения в сторону, определяемую правилом правого винта:
.
3) угловое ускорение e – векторная физическая величина, характеризующая изменение угловой скорости в единицу времени, численно равная первой производной от угловой скорости по времени или второй производной от угла поворота по времени Направление вектора углового ускорения совпадает с направлением вектора угловой скорости в случае ускоренного вращения и противоположно – в случае замедленного:
Период вращения (T) – время, в течение которого тело совершает один полный оборот.
Частота вращения (n) – число оборотов, совершаемых в единицу времени.
Круговая (циклическая) частота ω – число оборотов, совершаемых за время, равное 2π.
Связь между периодом, частотой и круговой частотой:
ω = 2π n = 2π / T; n = 1 / T.
Связь между линейными и угловыми скоростями и ускорениями
Колебательные движения (колебания) – движения или процессы, обладающие повторяемостью во времени.
Гармонические колебания (простейший вид колебаний) – движения, при которых смещение материальной точки (тела) от положения равновесия изменяется по закону синуса или косинуса (рис. П1.5):
x = x0×sin (w0t + j0),
где x – смещение это удаление материальной точки от положения равновесия в данный момент времени t;
x0 – амплитуда колебаний это максимальное удаление материальной точки от положения равновесия;
(wt + j0) – фаза колебаний. Периодически изменяющийся аргумент функции, описывающей колебательный или волновой процесс. Определяет положение материальной точки в данный момент времени t;
j0 – начальная фаза колебаний. Определяет положение материальной точки в начальный момент времени t = 0;
w = 2p / T = 2p n – круговая (циклическая) частота колебаний;
T – период колебаний;
n – частота колебаний.
Скорость при гармоническом колебательном движении(колебательная скорость) – физическая величина, которая показывает, как изменяется смещение в единицу времени, численно равная первой производной от смещения по времени:
.
Ускорение при гармоническом колебании – физическая величина, которая показывает, как изменяется скорость в единицу времени, численно равная первой производной от скорости или второй производной от смещения по времени:
.
Знак «минус» означает, что ускорение направлено в сторону, противоположную смещению.
Сложение гармонических колебаний одного направления (рис. П1.6) с одинаковыми амплитудами и частотами (x01 = x02; w1 = w2 = = w), но разными начальными фазами (j02 ¹ j01) проводят аналитически. Уравнение результирующего колебания имеет вид
где – амплитуда результирующего колебания;
– фаза результирующего колебания.
Биениявозникают при сложение колебаний одного направления (рис. П1.7), с одинаковыми амплитудами (x02 = x01), начальными фазами j01 = j02 = 0 и круговыми частотами, мало отличающимися друг от друга (w1 » w2). Уравнения таких колебаний имеют вид
x1 = x01×sin w1t; x2 = x01×sin w2t.
Уравнение результирующего колебания:
,
где – амплитуда результирующего колебания, которая зависит от Dw = w1 – w2 – разности частот складываемых колебаний;
– смещение результирующего колебания, изменяющееся по гармоническому закону.
Частота и период результирующего колебания:
Частота и период изменения амплитуды в этом случае:
Сложение взаимно перпендикулярных колебаний приводит к тому, что траектория движения представляет собой замкнутые фигуры, называемые фигурами Лиссажу (рис. П1.8):
1) сложение колебаний с одинаковыми частотами (w1 =w2 =w), различными амплитудами (x0 ¹ y0) с начальными фазами j1 = j2 = 0 – результирующее колебание – гармоническое. Траектория движения – прямая линия, уравнение которой имеет вид
y = (y0/x0)×x.
2) сложение колебаний, начальные фазы j1 и j2 которых отличаются на p/2 (j1 – j2 = p/2) – результирующее колебание – гармоническое. Траектория движения – эллипс (при равных амплитудах x0 = y0 – траектория результирующего движения – окружность) с полуосями, равными x0 и y0, уравнение которого
(y/y0)2 + (x/x0)2 = 1;
3) сложение колебаний, периоды которых относятся как целые числа – через промежуток времени, равный наименьшему кратному обоих периодов, движущаяся точка возвращается в начальное положение – получаются фигуры Лиссажу более сложной формы.
Динамика изучает движение и взаимодействия тел совместно с причинами, обусловливающими тот или иной характер движения и взаимодействия.
Основная задача динамики – для данного тела по известной силе найти его ускорение и, наоборот, по известному ускорению найти результирующую силу, действующую на тело.
Массаm – физическая величина, характеризующая количество вещества, инертность, гравитационные свойства и энергию материального тела. Массу тела, определяющую его инертные свойства, называют инертной массой.
Центр масс (или центр инерции) системы – воображаемая точка С, положение которой характеризует распределение массы этой системы и определяется радиус-вектором:
,
где mi и ri – соответственно масса и радиус-вектор i-й материальной точки;
n – число материальных точек в системе.
Дата добавления: 2022-02-05; просмотров: 255;