В случае переменной массы

,

где – реактивная сила.

При движении по кривой результирующая сила может быть разложена на две составляющие (рис. П 1.13):

; ,

где R – радиус кривизны траектории;

– тангенциальная составляющая (касательная сила);

– нормальная составляющая (центростремительная сила).

Основной закон классической динамики – инвариантен при переходе от одной инерциальной системы к другой, при этом

ma= F; ma^' = F^'; F= F^'.

Третий закон классической динамики –силы, с которыми взаимодействуют два тела, равны по величине и противоположны по направлению. Силы действия и противодействия приложены к разным телам и никогда не уравновешивают друг друга (рис. П1.14):

F₁₂ = -F₂₁.

Импульс силы –мера действия силы за некоторый промежуток времени:

.

Силы инерции обусловлены ускоренным движением системы отсчета по отношению к неподвижной системе. Различают:

1) силы, действующие на тело при ускоренном поступательном движении системы отсчета (рис. П1.15):

ma^’=ma + F_ин,

где a^’ – ускорение тела в неинерциальной системе отсчета;

a – ускорение тела в инерциальной системе отсчета;

F_ин – сила инерции.

2) силы, действующие на тело, покоящееся во вращающейся системе отсчета (рис. П 1.16):

,

где F_ц – центробежная сила инерции;

w – угловая скорость вращающейся системы отсчета;

r^’ – радиус-вектор тела относительно начала вращающейся системы отсчета;

R – перпендикулярная к оси вращения составляющая r^’.

3) силы, действующие на тело, движущееся во вращающейся системе отсчета (рис. П1.17):

F_к =2m×[v^’ ω],

где F_к – сила Кориолиса;

v^’ – скорость движения тела;

w – угловая скорость вращающейся системы отсчета.

Основной закон динамики для неинерциальных систем отсчета:

ma^’= F + F_ин + F_ц+ F_к,

где F, F_ин, F_ц, F_к – ранее рассмотренные силы, действующие в неинерциальных системах отсчета.

Основная задача динамики вращательного движения – нахождение угловых ускорений, сообщаемых известными силами.

Момент инерции – скалярная физическая величина, характеризующая инертность тела при вращательном движении.

Момент инерции материальной точки относительно неподвижной оси вращения – физическая величина, равная произведению массы материальной точки на квадрат расстояния до оси или центра вращения (рис. П1.18):

DI = Dm×r².

Момент инерции тела относительно оси z – физическая величина, равная сумме моментов инерции отдельных материальных точек тела относительно той же оси вращения (рис. П1.19):

; ,

где m_i – масса i-й точки;

r_i – расстояние i-й точки до оси z;

ρ – плотность вещества, из которого состоит тело;

V – объем тела.

Теорема Штейнера – момент инерции тела относительно произвольной оси z равен сумме момента инерции того же тела I₀ относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс, и произведения массы тела m на квадрат расстояния между осями (а):

I_z = I₀ + mа².

На рисунке П1.20 представлено применение теоремы Штейнера к расчету момента инерции диска относительно оси ОО^', параллельной оси О₁О₁^'.

Главные оси инерции – три взаимно перпендикулярных свободных оси вращения тела произвольной формы, проходящие через его центр масс.

Момент импульса материальной точки относительно неподвижной оси вращения (L) – векторная физическая величина, модуль которой равен произведению модуля импульса на плечо (рис. П1.21):

çLê= êpê×l.

В векторной форме

L=[r´p] = [r´mv],

где m – масса материальной точки;

v – скорость материальной точки;

l – плечо (кратчайшее расстояние от направления импульса до оси вращения).

Момент импульса системы относительно неподвижной оси вращения z –проекция на эту ось вектораL (момента импульса системы):

,

где r_i, p_i – радиус-вектор и импульс i-й материальной точки;

n – общее число точек в системе.

Связь момента импульса тела с вектором угловой скорости ω и моментом инерции

L= Iω.

Момент силы относительно центра вращения или неподвижной оси вращения – векторная физическая величина, модуль которой равен произведению модуля силы на плечо (рис. П1.22):

çMç=çFçl,

где l – плечо силы – кратчайшее расстояние от линии действия силы до центра вращения.

В векторной форме

M=[r´F].

Главный или результирующий момент сил относительно неподвижной оси вращенияравен векторной сумме моментов слагаемых сил:

.

Моменты сил относительно осей, которые перпендикулярны и параллельны оси вращения, равны нулю.

Основной закон динамики вращательного движения твердых (недеформирующихся) тел, для которых I=const (второй закон динамики для вращательного движения):

M= I∙ε; .

Импульс вращающего момента – произведение вращающего момента на время его действия:

M×dt = dL.

Осциллятор– физическая система, совершающая колебания; система, у которой величины, описывающие ее, периодически меняются с течением времени.

Гармонический осциллятор– механическая система, совершающая колебания около положения устойчивого равновесия, описывающие величины которой изменяются по гармоническому закону (закону синуса или косинуса).

Уравнение движения гармонического осциллятора:

; ; ,

Решение уравнения движения гармонического осциллятора:

x = x₀×sin (ω₀t + φ₀).

Уравнение гармонических колебаний в комплексном виде:

.

В теории колебаний принимается, что величина x равна вещественной части комплексного выражения, стоящего в этом выражении справа.

Дифференциальное уравнение гармонического колебательного движения:

.

Решением дифференциального уравнения гармонических колебанийявляется выражение вида

x = x₀ sin (w₀t + j₀),

где k = m w₀² – коэффициент возвращающей силы;

x – смещение материальной точки;

x₀ – амплитуда колебаний;

w₀ = 2p/Т = 2pn – круговая (циклическая частота);

n = 1/T – частота колебаний;

T – период колебаний;

j = (w₀t + j₀) – фаза колебаний;

j₀ – начальная фаза колебаний.

Примеры гармонических осцилляторов:

а) пружинный маятник – тело массой m (рис. П1.23), подвешенное на пружине, совершающее гармоническое колебание.

Упругие колебания совершаются под действием упругих сил:

F= –k∙Dl,

где k = m w_o² – коэффициент жесткости;

Dl – относительное удлинение.

Уравнение движения пружинного маятника:

; ,

где ;

Dl – величина деформации.

Решение уравнения движения пружинного маятника:

Dl = (Dl)₀×sin (ω₀t + φ₀).

Круговая частота, частота и период колебаний пружинного маятника:

; ; ;

б) физический маятник – твердое тело, совершающее гармоническое колебательное движение относительно оси, не совпадающей с центром масс (рис. П1.24).

Уравнение движения физического маятника:

.

Решение уравнения движения физического маятника:

j = j₀×sin (ω₀t + α),

где α – начальная фаза колебаний.

Круговая частота, частота и период колебаний физического маятника:

; ; ; ,

где L = I/md – приведенная длина физического маятника – длина такого математического маятник, период колебаний которого равен периоду колебаний физического маятника;

I – момент инерции физического маятникa относительно оси колебаний;

m – масса физического маятника;

d – расстояние между осью колебаний и центром масс;

в) математический маятник – тело массой m, размерами которого можно пренебречь, подвешенное на невесомой, нерастяжимой нити (рис. П1.25).

Круговая частота, частота и период колебаний математического маятника:

; ; .

Приведенная длина физического маятника – величина, численно равная длине такого математического маятника, период колебаний которого равен периоду колебаний физического маятника:

.

Крутильные колебания – колебания, совершающиеся под действием закручивающего момента, пропорционального углу закручивания (колебания диска, подвешенного на стальной нити):

M= – Da,

где – коэффициент крутильной жесткости;

G – модуль сдвига;

r – радиус нити;

l – длина нити.