Координатная форма смешанного произведения

Пусть вектор = { X₁ , Y₁ Z₁ } ; вектор = { X₂ ,Y₂ ,Z₂ } ; вектор = {X₃ ,Y₃ , Z₃ }.

[ ] = = - + . Известно , что скалярное произведение - это произведение одноимённых координат , поэтому

( X₃ - Y₃ + Z₃ , c другой стороны - это разложение определителя третьего порядка по элементам третьей строки.

= ( (

Используя формулу ( , можно доказать все свойства (1,2,3) смешанного произведения.

Пример.Вычислить объём пирамиды с вершинами в точках : О ( 0,0,0) ; А(5,2,0) ; В ( 2, 5, 0) ; С ( 1,2,4) .

Решение.Объём пирамиды равен объёма параллелепипеда , то есть = V_пир. = V_пар. = , = = (100 -16 ) = 84 куб.ед.

Ответ:V_пир.= 84 куб. ед.

Условие компланарности векторов

Теорема.Необходимым и достаточным условием компланарности 3-х векторов является равенство нулю их смешанного произведения.

Доказательство необходимости. Пусть компланарны , значит построить параллелепипед на них нельзя , то есть объём равен нулю V=0 , а это значит и =0 ч.т.д.

Доказательство достаточности.Пусть ( = 0 это значит , что V=0 и векторы лежат в одной плоскости , то есть компланарны ч.т.д.

Вывод:Условием компланарности векторов является равенство нулю их смешанного произведения = 0

Пример.Проверить лежат ли четыре точки в одной плоскости. А ( 2,-1,1); В(5,5,4); С(3,2,-1) ; Д(4,1,3).

Решение. Надо проверить лежат ли 3 вектора в одной плоскости, для этого найдём координаты этих векторов {3,6,3} ; { 1,3,-2} ;

( =18 -24 +6 -18-12+ 12= 18 . Вывод.Эти точки

не лежат в одной плоскости.

Определение.Двойным векторным произведением векторов называется векторное произведение [ или [ .

Задачи

Задача 1. Какому условию должны удовлетворять векторы , чтобы вектор делил пополам угол между векторами

Задача 2.Точка 0 является центром тяжести треугольника АВС. Доказать , что

.

Задача 3. Найти сумму и разность векторов и , если ;

Задача 4.Дан вектор ; Угол между векторами равен 60⁰ . Найти =?

Задача 5.Даны 3 вектора , Определить разложение вектора по базису .