Двоичная система счисления


Арифметические основы вычислительной техники

Системы счисления

В ЭВМ информация всегда представляется в виде чисел, записанных в той или иной системе счисления. Выбор системы счисления - один из важнейших вопросов. От правильности его решения зависят такие характеристики ЭВМ, как скорость вычислений, сложность алгоритмов реализации арифметических операций и др. Система счисления - совокупность цифр, приемов и правил для записи чисел цифровыми знаками.

Любая система счисления должна обеспечивать:

§ возможность представления любого числа в рассматриваемом диапазоне величин;

§ единственность этого представления;

§ простоту оперирования числами.

Различают два типа систем счисления - непозиционные и позиционные.

Непозиционная система счисления - система, для которой значение символа не зависит от его положения в числе. Примером может служить система счисления с одной цифрой 1. Для записи любого числа в ней необходимо написать количество единиц, равное числу. Другой пример - это римская система счисления.

Позиционной системой счисления называется система записи любых по величине чисел, в которой значение цифры зависит от ее положения в числе, т.е. веса. Число цифр в позиционной системе счисления ограниченно.

Основание (базис) r позиционной системы счисления - максимальное количество различных знаков или символов, используемых для изображения числа в данной системе счисления. Таким образом, основание может быть любым числом, кроме 1 и бесконечности.

Любое число в системе счисления с основанием r может быть записано в общем виде:

A=an·rn+ an-1·rn-1+...+a1·r1+a0·r0+ a-1·r--1+...+a-rn-1·r-(rn-1)+a-rn·r-rn, (1)

или

, (2)

где любая разрядная цифра aiÎ{0,…,r-1}, a ri - вес соответствующего разряда.

Запись числа в форме (1) назовем записью числа в развернутой форме. Свернутой формой записи чисел называется запись чисел в виде

A=a1a2 … ak.

Для любой системы счисления основание представляется как 1 (один) и 0 (ноль).

Например: 9 1 F 7

+1 +1 +1 +1

1010 102 1016 108

Вес разряда pi числа выражается соотношением

pi = ri /r0 = ri ,

где i - номер разряда при отсчете справа налево.

Если в i-м разряде накопилось значение единиц, равное или большее r, то должна происходить передача единицы в старший i+1 разряд. При сложении такая передача информации называется переносом. При вычитании передача из i+1 разряда в i-й – заем.

Длина числа – количество позиций (разрядов) в записи числа. В технической реализации под длиной числа понимается длина разрядной сетки.

Диапазон представления чисел в заданной системе счисления – интервал числовой оси, заключенный между максимальным и минимальным числами, представленными при заданной длине разрядной сетки.

В вычислительной технике для представления данных и выполнения арифметических операций над ними удобно использовать двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления. Ниже коротко остановимся на них.

 

Двоичная система счисления

Для записи числа в двоичной системе счисления используются две цифры: 0 и 1. Основание системы записывается как 10(2) (210=1·21+0·20). Используя данную систему, любое число можно выразить последовательностью высоких и низких потенциалов или группой запоминающих элементов, способных запоминать одно из двух (0,1) значений. Арифметические операции в двоичной системе счисления выполняются по тем же правилам, что и в десятичной системе счисления.

             
  Сложение   Вычитание   Умножение  
  0+0= 0   0-0=0   0 · 0=0  
  0+1= 1   1-0=1   0 · 1=0  
  1+0= 1   1-1=0   1 · 0=0  
  1+1=10   10-1=1   1 · 1=1  

Рассмотрим несколько примеров, демонстрирующих выполнение арифметических операций:

Пример:



Дата добавления: 2022-02-05; просмотров: 240;


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2024 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.008 сек.