Обратимые матрицы. Вычисление обратной матрицы


Определение 4.6.Матрица A ÎMnn(F)называется обратимой, если $Mnn(F) A × X = X × A = En.

Матрица X называется обратной матрицей к А и обозначается A–1.

Определение 4.7.Квадратная матрица А ÎMnn(F) называется неособенной (невырожденной), если ее ранг равен порядку n этой матрицы.

Замечание.Квадратная матрица А ÎMnn(F) является неособенной (невырожденной) тогда и только тогда, когда |A| ¹ 0.

Теорема 4. 2 (критерий обратимости матрицы).Квадратная матрица АÎ Mnn(F) обратима тогда и только тогда, когдаона неособенная.

Теорема 4. 3 (о нахождении обратной матрицы).

1) Пусть А – неособенная матрица, А ÎMnn(F). Рассмотрим расширенную матрицу В = (A | Еn), которая получается из А приписыванием справа матрицы Еn. Если к матрице В применить элементарные преобразования строк так, чтобы слева от черты получилась матрица Еn, то справа от черты получится матрица А-1.

(A | Еn) ~ …~ … (Еn | A–1)

2) Пусть A Î Mnn(F). Если |A| ¹ 0, то A–1 = × || Aij|| t, где Aij – алгебраическое дополнение к элементу aij матрицы А (1 £ i £ n,1 £ j £ n).

Пример.Вычислим обратную матрицу А-1 двумя способами:

А = = rang A =3, значит, матрица A обратима.

Вычислим А-1.

1. Метод элементарных преобразований:~ ~ ~ .Таким образом, = .

2. С помощью алгебраических дополнений:A–1 = × || Aij || t (1 £ i £ n,1£ j £ n).

|A| = = (3 + 1 + 0) (1 – 1 + 0) = 4 0. Поэтому А-1 обратима.

Вычисляем алгебраические дополнения элементов данной матрицы, не забывая о их знаках:

A11 = (-1)1+1· = 4, A12 = (-1)1+2 · = 1, A13 = (-1)1+3 · = 1,

A21 = (-1)2+1 · = – 4, A22 = (-1)2+2 · = 2, A23 = (-1)2+3 · = –2,

A31 = (-1)3+1 · = 0, A32 = (-1)3+2 · = 1, A33 = (-1)3+3 · = 1.

А-1 = = × = × = .

Проверка: А · А-1= · = .

Ответ: А-1 = .



Дата добавления: 2021-12-14; просмотров: 292;


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2024 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.009 сек.