Простейшие свойства групп, колец, полей


10. Единичный элемент в группе единственен.

20. Обратный элемент к любому элементу группы определён однозначно.

30.В любой группе выполняется следующий обобщённый закон ассоциатив­­ности: " k Î N" a1 , … , ak Î G произведение a1* … *ak не зависит от расстановки скобок.

40. В любой группе (G, *) выполняются законы сокращения слева и справа:

" f, g, h Î G f * g = f * h g = h, " f, g, h Î G f * h = g * h f = g .

50. В любой группе однозначно разрешимы уравнения a * x = b и y * a = b, где а, b – произвольные элементы.

60. " k N " g1 , … , gk Î G (g1* … *gk)–1 = gk–1* … *g1–1.

70. Аддитивная группа (K, +) любого кольца удовлетворяет 10–60.

80. В любом кольце выполняется обобщённый закон ассоциатив­­ности умножения.

90. " a, b Î K (– a)× b = a× ( – b)

100. Для кольца с единицей: " a Î K – a = (–1)× a

В любом кольце определяется операция вычитания: a – b = a + (– b)

110. " a, b, c Î K a × (b – c) = a× b – a × c, " a, b, c Î K (a – b)× c = a× c – b× c

120. " a1 ,, an , b Î K (a1 ± a2 ± …± an )× b = a1× b ± a2 × b ± …± an× b, (a1 ± a2 ± … ± an ) = b× a1 ± b× a2 ± … ± b × an

130. Любое поле удовлетворяет всем свойствам колец.

140. Если (F, +, ×) – поле и F* = F \ {0} то (F* , ×) – группа, называемая мультипликативной группой поля.

В любом поле определяется операция деления на ненулевые элементы:

= a× b–1.

150. Свойства дробей в поле: = Û a× d = b× c, = 1, = a, = , ± = , × = , = .

Гомоморфизмы групп, колец, полей

Определение 1.7. Пусть (A, *)и (B,Ä)группы. Отображение j : A ® B называется гомоморфизмом групп, если оно сохраняет операцию, т.е. " x, y Î A j(x * y) = j (x)Äj (y).

Определение 1.8. Если (A, +, ×)и (B, Å, Ä)кольца, то отображение j : A ® B называется гомоморфизмом колец, если оно сохраняет обе операции, т.е.

" x, y Î A j (x + y) = j(x) Åj (y)," x, y Î A j (x × y) = j (x) Ä j (y).

Определение 1.9. Инъективные гомоморфизмы называют мономорфизмами или вложениями, сюръективные гомоморфизмы – эпиморфизмами или наложениями, а биективные – изоморфизмами.

Определение 1.10. Если существует гомоморфизм групп или колец j : А ® B, то группы или кольца А, В называют изоморфными.

Смысл изоморфизма состоит в том, что он устанавливает такое соответствие между элементами изоморфных объектов, которое показывает, что с точки зрения сохраняемых алгебраических операций изоморфные объекты неразличимы.

Примеры: 1.Тождественный изоморфизм I: A ® A ," x Î A I (x) = x. (A – группа или кольцо).

2. Единичный или нулевой эпиморфизм: если E = {e}одноэлементный объект (единичная группа или нулевое кольцо), то для любой группы (A, *)или кольца определён эпиморфизм О: A ® E, " x Î A О(x) = e.

3. Естественные вложения групп и колец: Z® Q ® R ® C.



Дата добавления: 2021-12-14; просмотров: 332;


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2024 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.009 сек.