Простейшие свойства групп, колец, полей
10. Единичный элемент в группе единственен.
20. Обратный элемент к любому элементу группы определён однозначно.
30.В любой группе выполняется следующий обобщённый закон ассоциативности: " k Î N" a1 , … , ak Î G произведение a1* … *ak не зависит от расстановки скобок.
40. В любой группе (G, *) выполняются законы сокращения слева и справа:
" f, g, h Î G f * g = f * h g = h, " f, g, h Î G f * h = g * h f = g .
50. В любой группе однозначно разрешимы уравнения a * x = b и y * a = b, где а, b – произвольные элементы.
60. " k N " g1 , … , gk Î G (g1* … *gk)–1 = gk–1* … *g1–1.
70. Аддитивная группа (K, +) любого кольца удовлетворяет 10–60.
80. В любом кольце выполняется обобщённый закон ассоциативности умножения.
90. " a, b Î K (– a)× b = a× ( – b)
100. Для кольца с единицей: " a Î K – a = (–1)× a
В любом кольце определяется операция вычитания: a – b = a + (– b)
110. " a, b, c Î K a × (b – c) = a× b – a × c, " a, b, c Î K (a – b)× c = a× c – b× c
120. " a1 , … , an , b Î K (a1 ± a2 ± …± an )× b = a1× b ± a2 × b ± …± an× b, b× (a1 ± a2 ± … ± an ) = b× a1 ± b× a2 ± … ± b × an
130. Любое поле удовлетворяет всем свойствам колец.
140. Если (F, +, ×) – поле и F* = F \ {0} то (F* , ×) – группа, называемая мультипликативной группой поля.
В любом поле определяется операция деления на ненулевые элементы:
= a× b–1.
150. Свойства дробей в поле: = Û a× d = b× c, = 1, = a, = , ± = , × = , = .
Гомоморфизмы групп, колец, полей
Определение 1.7. Пусть (A, *)и (B,Ä) – группы. Отображение j : A ® B называется гомоморфизмом групп, если оно сохраняет операцию, т.е. " x, y Î A j(x * y) = j (x)Äj (y).
Определение 1.8. Если (A, +, ×)и (B, Å, Ä) – кольца, то отображение j : A ® B называется гомоморфизмом колец, если оно сохраняет обе операции, т.е.
" x, y Î A j (x + y) = j(x) Åj (y)," x, y Î A j (x × y) = j (x) Ä j (y).
Определение 1.9. Инъективные гомоморфизмы называют мономорфизмами или вложениями, сюръективные гомоморфизмы – эпиморфизмами или наложениями, а биективные – изоморфизмами.
Определение 1.10. Если существует гомоморфизм групп или колец j : А ® B, то группы или кольца А, В называют изоморфными.
Смысл изоморфизма состоит в том, что он устанавливает такое соответствие между элементами изоморфных объектов, которое показывает, что с точки зрения сохраняемых алгебраических операций изоморфные объекты неразличимы.
Примеры: 1.Тождественный изоморфизм I: A ® A ," x Î A I (x) = x. (A – группа или кольцо).
2. Единичный или нулевой эпиморфизм: если E = {e} – одноэлементный объект (единичная группа или нулевое кольцо), то для любой группы (A, *)или кольца определён эпиморфизм О: A ® E, " x Î A О(x) = e.
3. Естественные вложения групп и колец: Z® Q ® R ® C.
Дата добавления: 2021-12-14; просмотров: 332;