Тригонометрическая форма записи
Геометрический подход к понятию комплексного числа позволяет записывать его в так называемой тригонометрической форме. Для этого вводится понятие модуля и аргумента.
Определение 2.1.Модулем комплексного числа zназывается арифметическое значение корня квадратного из а2 + b2, т. е. | z | = .
Это понятие является обобщением понятия «абсолютная величина действительного числа», так как, если z = a + i · 0, то | z | = = | а |.
С геометрической точки зрения, модуль комплексного числа – это длина радиус-вектора ОА или расстояние от начала координат до точки с координатами (а, b) (рис. 1).
Определение 2.2.Аргументом комплексного числа z называют угол между положительным направлением оси и радиус-вектором , отсчитываемым против часовой стрелки.
Из этого определения следует, что аргумент комплексного числа определяется неоднозначно, а с точностью до числа, кратного 2 . Поэтому на практике, в качестве аргумента, обычно берут наименьший по абсолютной величине угол, который обозначают = arg z и находят из соотношений:
cos = , sin = , 0 2 а = | z | · cos , b = | z | · sin ,
тогда z = a + i · b = | z | · (cos + i · sin ) и мы получили тригонометрическую форму записи комплексного числа.
Определение 2.3.Тригонометрической формой записи комплексного числа z называется представление его в виде z = r × (cos + i × sin ), где r = | z | – неотрицательное действительное число, Î[0, 2p).
Понятие модуля и аргумента комплексного числа z позволяют записать это число в тригонометрической форме.
Пример. Комплексное число z = – i записать в тригонометрической форме.
1. Изобразим данное комплексное число на координатной плоскости. Это будет радиус-вектор с концом в точке А ( , - 1) (рис. 2)
2. Найдем его модуль | z | = | – i | = = = 2.
3. Найдем аргумент из соотношений:
cos = = , sin = = или
Таким образом, z = – i = 2 · [cos + i · sin ].
Существование двух форм записи одного и того же комплексного числа z = a + i · b = r × (cos + i × sin ) позволяет выполнять алгебраические операции на множестве С в той форме, которая наиболее удобна в каждом конкретном случае.
Теорема 2.2.Если z1 = r1 (cos + i × sin ), z2 = r2 (cos + i × sin )), то
1) z1 · z2 = r1 · r2 · [cos + i × sin ];
2) z1 : z2 = · [cos + i × sin ], где z2 0;
3) если r ¹ 0, то для любого n ÎZ справедлива формула Муавра
zn = rn · [cos( n · ) + i × sin (n · )],
4) , k = 0, 1, 2, …, (n-1).
Операции сложения и вычитания в тригонометрической форме на практике не выполняются.
Пример. Найти (1– i)105.
Имеем 1– i = |1 – i| × (cos + i × sin ), где |1– i| = = ,
, = ×p.
Таким образом, z = × (cos × p + i × sin × p)и
z105 = ( )105× (cos × p + i × sin × p) = 250 × × (cos × p + i × ·sin × p) = 250 × ×(cos × p + i × sin × p) = 250 × × (cos × p + i× sin × p ) = 250× ×(– + i × ) = – 250 + i × 250.
Дата добавления: 2021-12-14; просмотров: 333;