Интервальные оценки для генеральной дисперсии и среднего квадратического отклонения

Пусть из генеральной совокупности Х, распределённой по нормальному закону , взята случайная выборка объёмом n и вычислена выборочная дисперсия . Требуется определить с надёжностью интервальную оценку генеральной дисперсии .

Построение доверительного интервала основано на том, что случайная величина имеет распределение Пирсона с степенями свободы.

Для уровня значимости можно записать доверительную вероятность

Границы доверительного интервала и обычно выбирают так, чтобы

Тогда имеем

(10)

Так как таблица - распределения содержит лишь критические значения для правосторонних критических областей, т.е , то для вычисления левой границы запишем тождество:

(11)

Правую границу доверительного интервала найдём из равенства

(12)

С учётом формулы (11) равенство (10) примет вид

(13)

Формула (13) используется при решении обратной задачи- нахождении доверительной вероятности по заданному доверительному интервалу.

Из неравенства

получаем интервал для генеральной дисперсии

. (14)

Доверительный интервал для генерального среднего квадратического отклонения при равен

(15)

При достаточно больших объёмах выборки доверительный интервал определяется неравенством:

, (16)

где определяется из уравнения .

Пример 2. По результатам контроля деталей вычислено выборочное среднее квадратическое отклонение . В предположении, что ошибка изготовления деталей распределена по нормальному закону, определить с надёжностью доверительный интервал для параметра .

Решение: Так как , используется - распределение. Согласно формулам (11) и (12), имеем:

,

.

По таблице - распределения для числа степеней свободы и найденных вероятностей 0,975 и 0,025 находим , .

Вычисляем и . Доверительный интервал по формуле (15) равен

.