Критерий устойчивости Михайлова

Применение критерия устойчивости Гурвица для систем с характеристическим уравнением выше 4-го порядка затруднено.

Частотный критерий устойчивости А.М.Михайлова позволяет судить об устойчивости систем любого порядка по виду ее характеристического вектора (годографа) на комплексной плоскости. Годограф Михайлова получают подстановкой P=jw в характеристический полином характеристического уравнения и построением кривой в координатах U(w) и jV(w) при изменении w от 0 до ¥

D(jw)=U(w)+jV(w)=a₀(jw)ⁿ + a₁(jw)^n-1+...+ a_n-1(jw)+a_n . (1.6.18)

Определение критерия Михайлова. Для устойчивости САУ необходимо и достаточно, чтобы ее характеристический вектор при изменении частоты от 0 до ¥ повернулся против часовой стрелки, начиная с положительной вещественной оси и проходя последовательно такое количество квадрантов на координатной плоскости, которое равно порядку характеристического уравнения, т.е. угол поворота должен быть np/2.

На рис.1.6.4,а показаны кривые устойчивых систем, а на рис.1.6.4,б - неустойчивых систем.

Рис.1.6.4. Кривые Михайлова:
а - устойчивые системы; б - неустойчивые системы

Пример. Оценим устойчивость системы третьего порядка с передаточной функцией (1.5.5) и характеристическим уравнением (1.6.15)

D(jw)=(К-(T₁+T₂)w²)+j(w(1-T₁T₂w²)). (1.6.19)

Построим кривую Михайлова (рис.1.6.5).

рис.1.6.5. Кривые Михайлова системы
третьего порядка

При V=0 получим 1-T₁T₂w² =0

или . (1.6.20)

При U=0 получим К-(T₁+T₂)w²=0 (1.6.21)

или . (1.6.22)

Отсюда , что аналогично и критерию Гурвица (1.6.17).

Другая форма критерия Михайлова состоит в использовании свойства перемежаемости корней многочленов U(w) и V(w), т.е. корни U(w)=0 и V(w)=0 должны поочередно следовать друг за другом. На рис. 1.6.5 w₀=0; w₁>w₂ или из (1.6.20) и (1.6.21) имеем:

.