Понятие об устойчивости и виды устойчивости
Основным динамическим свойством САУ является ее устойчивость. Устойчивостью называется свойство системы возвращаться в исходное или новое установившееся состояние после всякого выхода из него в результате внешнего воздействия (рис.1.6.1). Неустойчивые системы разрушаются, они неработоспособны. Поэтому актуальнейшей инженерной задачей является проверка САУ на устойчивость и обеспечение ее устойчивости.
Устойчивость системы необходимо исследовать в следующих случаях: при определении структуры САУ, при выборе параметров звеньев, при настройке и выборе допустимых пределов изменения параметров.
Устойчивость линейной системы не зависит от величины возмущения. Доказано Ляпуновым, что линейная динамическая системы, устойчивая при малых возмущениях, будет устойчивой и при больших возмущениях. Поэтому для суждения об устойчивости САУ достаточно определить устойчивость в "целом" по передаточной функции системы. Так как передаточная функция представляется в виде (1.2.8) и (1.2.17):
, (1.6.1)
где К - коэффициент; a0, a1,... an - коэффициенты полинома выходного параметра; b0, b1,... bn - коэффициенты полинома входного воздействия; - оператор дифференцирования.
Отсюда видно, что математическая модель САУ представляется в виде параметрического и дифференциального уравнений:
(a0Pn+ a1Pn-1+...+an-1P+an)Y(t)=(b0Pm+b1Pm-1+...+bm-1P+bm)X(t) (1.6.2)
или
(1.6.3)
Мы уже ознакомились с решением дифференциальных уравнений (1.2.8)...(1.2.11), т.е. Y(t)=Yвын.+Yсв(t),
где Yвын. - частное решение уравнения, определяющее вынужденное движение для производных равных нулю;
Yсв(t) - решение левой части уравнения, приравненное нулю (свободная составляющая).
Считают, что САУ устойчива, если свободная составляющая будет затухать, т.е.
. (1.6.4)
Свободная составляющая представляется в решении уравнения (1.6.3) следующим видом:
, (1.6.5)
где li - корни характеристического уравнения, полученного из левой части уравнения (1.6.2) или (1.6.3):
a0ln+a1ln-1+...+an-1l+an=0. (1.6.6)
Решение характеристического уравнения зависит от его корней, которые в общем виде могут быть комплексными
li = ± ai ± jbi. (1.6.7)
Рассмотрим лишь две составляющие процесса от пары сопряженных комплексных корней
Yсв(t)=cie(ai+jbi)t+ci+1e(ai-jbi)t= , (1.6.8)
где ci, ci+1, - постоянные коэффициенты;
bi - частота колебаний;
ai - коэффициент затухания;
ji - фаза колебаний.
Анализ (1.6.8) показывает, что это синусоида с амплитудой, изменяющейся по экспоненте . Поэтому, если:
1) ai<0, eaitуменьшается при t®¥, колебание затухает и САУ устойчива (рис.1.6.1,а,б);
2) ai>0, eaitувеличивается при t®¥, колебание увеличивается и САУ неустойчивая (рис.1.6.1,д);
3) ai=0 - незатухающие колебания и САУ на границе устойчивости (рис.1.6.1,а);
4) bi=0 - процесс апериодический (рис.1.6.1,в).
Результаты анализа и виды устойчивости показаны на рис.1.6.1.
Рис.1.6.1. Переходные процессы устойчивых (а,б,в)
и неустойчивых (г,д) САУ
Дата добавления: 2021-12-14; просмотров: 314;