Простейшие свойства простых чисел
10. Если р простое число, то
" а Î Z НОД(p, а) > 1 Û НОД(p, а) = p Û p | a.
Действительно, если D = НОД(p, а) > 1, то D Î {1, p} \ {1} = {p}, т.е. D = p. Остальные импликации очевидны.
Из свойства 10 непосредственно вытекают следующие три свойства:
20. Если р простое число, то " а Î Z НОД(p, а) = 1 Û p a.
30. Если р и q – два простых числа, то НОД(p, q) > 1 Û p = q Û p | q.
40. Различные простые числа взаимно просты.
50. Простое число делит произведение двух целых чисел в том и только том случае, когда оно делит один из сомножителей.
Действительно, сформулированное утверждение эквивалентно (?!) следующему: простое число не делит произведение двух целых чисел в том и только том случае, когда оно не делит ни один из сомножителей. Для его доказательства используем доказанные ранее свойства простых и взаимно простых чисел:
p a×b Û (p, a×b)=1 Û ((p, a) = 1) Ù ((p, b) = 1) Û (p a) Ù (p b).
60. Натуральное число п > 1 является простым тогда и только тогда, когда оно не делится ни на одно простое число 2 £ р £ .
Очевидно, что если n – простое, то оно не делится ни на одно простое число 2 £ р £ . Докажем обратное: если n не делится ни на одно простое число 2 £ р £ , то оно простое.
Это очевидно для n = 2. Рассуждая от противного, предположим, что доказываемое утверждение не верно для некоторого n > 2 и выберем наименьшее n с этим свойством. Тогда число n не простое, хотя и не делится ни на одно простое 2 £ р £ . Таким образом, n = n1×n2 для некоторых натуральных чисел п1 , n2 (1 < n1 £ n2 < n). При этом число п1 не делится ни на одно простое число р £ , а тем более, ни на одно простое 2 £ р £ . Для n1 доказываемое утверждение верно (т.к. n1 < n), и значит, п1 – простое число, на которое делится п . Поэтому п1 > , однако это приводит к противоречию: п = n1×n2 ³ n12 > ( )2 = п .
Таким образом, предположение о том, что число п составное было неверным, и свойство 60доказано.
Теорема (основная теорема арифметики). (1) Любое натуральное число n > 1 однозначно записывается в виде произведения: n = , где k Î N, ai Î N, p1 < … < pk – простые числа.
(2) Любое целое число n, большее 1 по модулю, однозначно записывается в виде n = , где Î {–1, +1}, k Î N, i Î N, p1 < … < pk – простые числа.
Указанные произведения (со знаком или без него) степеней простых чисел называются каноническими разложениями натурального или целого числа n соответственно.
Доказательство. Прежде всего, (2) следует из (1): любое целое число n однозначно записавается в виде n = e×|n|, где знак e Î {–1, +1} совпадает со знаком числа n, причём в силу (1), |n| = .
(1) Докажем вначале существование канонического разложения. Если n – простое число, то n = n1 – каноническое разложение числа n. Рассуждая от противного, предположим, что для некоторого n Î N, n > 1 не существует канонического разложения, и выберем наименьшее такое число n .
Ввиду предыдущих рассмотрений n > 1 не простое, значит, n – составное и n = n1×n2 для некоторых натуральных чисел n1 , n2 , больших 1, но меньших n. Поэтому у множителей n1 и n2 существуют канонические разложения: n1 = , n2 = , где ai , bj Î N0и различным индексам соответствуют различные простые числа (при этом с нулевыми показателями степеней могут участвовать лишь общие для п1 и п2 простые числа р1 , … , рs). Тогда
n = ,
а каноническое разложение числа n получится, если в этом произведении переставить некоторые сомножители, упорядочив простые числа по возрастанию, и отбросить множители с нулевыми показателями степеней. Итак, существование канонического разложения доказано.
Примеры: 1. Найти каноническое разложение числа 11655.
Последовательно проверяем, делится ли данное число на простые числа pi (2 £ pi £ = 107,…), получая в случае деления частное ni и сокращая верхнюю границу простых чисел до . Результат оформляем в виде таблички:
ni | 11655 | 3885 | 1295 | 259 | 37 | 1 |
pi | 3 | 3 | 5 | 7 | 37 | |
107,… | 62,… | 35,… | 16,… | 6,… | stop |
Итак, 11655 = 32×51×71×371.
2.Найти каноническое разложение числа 399.
ni | 399 | 133 | 19 | 1 |
pi | 3 | 7 | 19 | |
19,… | 11,… | 4,… | stop |
Таким образом, 399 = 3×7×19.
3. Простое ли число 101 ?
Проверяем его делимость на простые из интервала 2 £ p £ » 10, … , т.е. на простые p = 2, 3, 5, 7. Ясно, 101 не делится на эти простые, а значит, само является простым числом.
С вычислительной точки зрения рассмотренный процесс разложения числа n в произведение простых очень трудоёмок: он сводится к перебору простых чисел, не превосходящих . Хотя есть более быстрые алгоритмы решения этой задачи, но принципиально эта трудность непреодолима – задача разложения числа на множители относится к классу так называемых NP-полных задач, для которых не найдено хороших алгоритмов решения. Например, существует 155-значное число, которое было разложено на множители только после семи месяцев интенсивных вычислений на самых современных компьютерах. Поэтому раскладывать в произведение, например, 1000-значные числа – почти всегда дело безнадёжное (разложите, тем не менее, число 101000000).
Следствие 1 (о делителях числа). Если a = ± – каноническое разложение целого числа a, то любой делитель d | a имеет вид d = ± , где 0 £ si £ ai (1 £ i £ k).
Доказательство. Ясно, что любое число d = ± является делителем числа a = ± .
С другой стороны, если d | a и d = ± – каноническое разложение, то простые числа pk+1 , … , pm в этом разложении на самом деле отсутствуют, т.к. в противном случае должны были бы присутствовать и в каноническом разложении числа a. Значит, d = ± . При этом | a, а значит, 0 £ si £ ai (1 £ i £ k).
Следствие 1 доказано.
Следствие 2 (о количестве натуральных делителей). Количество натуральных делителей целого числа a = ± равно
s(a) = (a1 + 1)× … ×(ak + 1).
Доказательство. Каждый натуральный делитель равен d = , где 0 £ si £ ai (1 £ i £ k), и полностью определяется набором (s1 ; … ; sk). Таким образом, соответствие d = ® (s1 ; … ; sk) является взаимно однозначным, и остаётся только подсчитать количество всех таких наборов. Каждая i-япозиция такого набора может быть заполнена ai + 1 способом, т.к. 0 £ si £ ai .По принципу умножения получаем, что всего возможностей образования наборов равно (a1 + 1)× … ×(ak + 1).
Следствие 2 доказано.
Следствие 3 (о наибольшем общем делителе и наименьшем общем кратном). Для любых целых чисел a = ± , b = ± , где ai , bi Î NÈ {0}, p1 < … < pk – простые, имеют место равенства
НОД(a, b) = , где gi = min{ai , bi},
НОК[a, b] = , где di = max{ai , bi}.
Доказательство. Ясно, что число D = ,где i = min{ai , bi}, является общим делителем чисел a, b.С другой стороны, если число d – произвольный положительный общий делитель a и b , то по следствию 1 имеем d = , где 0 £ si £ ai и 0 £ si £ bi , т.е. 0 £ si £ gi (1 £ i £ k). Следовательно, d D, и D – наибольший общий делитель чисел a, b.
Для наименьшего общего кратного имеем НОК[a, b] = = = , причём ai + bi – gi = di для всех 1 £ i £ k. Последнее равенство очевидно: min{a, b} + max{a, b} – min{a, b} = = max{a, b}.
Следствие 2 доказано.
Упражнения: 1.Проанализируйте детально доказательства следствий и восполните все пробелы.
2. Выведите аналогичные формулы для НОД и НОК произвольного количества ненулевых целых чисел.
3. Чему равно количество общих натуральных делителей n чисел ? А целых ?
4. Чему равна сумма всех общих натуральных делителей n чисел ? А целых ?
Следствие 4 (о разложении степени на взаимно простые множители).Если произведение a1×a2× … ×ak попарно взаимно простых натуральных чисел a1 , … … , ak является n-й степенью некоторого целого числа, то каждый сомножитель ai является n-й степенью подходящего натурального числа.
Доказательство. Если sn = a1×a2×…×ak , то раскладывая в произведение простых множителей числа s, a1 , … , an и замечая, что ввиду взаимной простоты, в разложениях ai и aj нет одинаковых простых (1 i < j k), получим, что любое простое число, входящее в разложение произвольного множителя ai , имеет тот же показатель степени, что и в разложении для sn. Таким образом, любое простое число в разложении каждого множителя участвует с показателем степени, делящимся на n, – т.е. каждый множитель является n-й степенью натурального числа.
Следствие 4 доказано.
Упражнения: 1. Справедливо ли следствие 4, если множители ai (1 i k), предполагаются целыми, а не натуральными ?
2. Как нужно изменить формулировку, чтобы следствие 2 оставалось верным и для целых множителей ?
Дата добавления: 2021-12-14; просмотров: 369;