УРАВНЕНИЕ БЕГУЩЕЙ ВОЛНЫ

СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ

Колеблющееся тело — источник колебаний (камертон, струна, мембрана и т. д.), находящееся в упругой среде, приводит в колебательное движение соприкасающиеся с ним частицы среды. Колебание этих частиц передается (силами упругости) соседним частицам среды и т. д. Через некоторое время колебание охватит всю среду. Процесс распространения колебательного движения в среде называется волной. Направление распространения волны (колебаний) называется лучом. Волна называется поперечной, если частицы среды колеблются перпендикулярно лучу. Если колебания частиц среды происходят вдоль луча, волна называется продольной.

Если точка 0 совершает колебательное движение в упругой среде по гармоническому закону (рис. 9):

у = А sin ωt, (39)

где y — смещение колеблющейся точки;

А — амплитуда (наибольшее смещение точки от положения равновесия); t — время; Т— период; ω = — циклическая или круговая частота.

Рис.9

Соседняя точка В среды придет в. колебательное движение с некоторым запозданием на время:

τ = , (40)

где х — расстояние, на которое распространилось колебание от точки 0 до точки, В;

— скорость распространения колебания от 0 до В.

Тогда уравнение колебаний в точке В запишется:

y = А sin ω (1—τ) = А sin (ωt − ) (41)

Соотношение (41), позволяющее определить смещение любой точки среды в любой момент времени, называется уравнением бегущей плоской синусоидальной волны.

Длиной волны(λ)называется расстояние между соседними точками, находящимися в одинаковой фазе, т. е. расстояние, пройденное волной за один период колебания, следовательно:

λ = vT = ; v = λν (42)

где ν — частота колебания частиц среды (частота волны). Колебания частиц среды имеют ту же частоту, что и колебания источника волн. Волны, частоты колебаний в которых лежат в пределах от 16 до 20000 Гц, называют звуковыми. В звуковой или акустической волне происходят механические колебания частиц среды с малыми амплитудами.

Подставляя в уравнение (41) v= и учитывая, что ω = = 2πν, получим другие формы записи уравнения волны:

y = А sin 2π(t/T—x/λ) = А sin 2π (νt— x/λ) = А sin(ωt - 2π x/λ), (43)

где — волновое число, которое показывает, сколько длин волн укладывается на отрезке длиной 2π. Тогда уравнение волны запишется:

y = А sin(ω t—kx) (44)

Метод определения скорости звука основан на свойствах звуковой стоячей волны.Стоячие волны образуются при наложении (интерференции) двух встречных плоских волн с одинаковой амплитудой. Практически стоячие волны возникают при отражении волн от преград. Падающая на преграду волна и бегущая навстречу отраженная волна, налагаясь друг на друга, дают стоячую волну.

Напишем уравнение двух плоских волн, распространяющихся вдоль оси X в противоположных направлениях:

y₁= А sin (ωt—kx), у₂ = А sin (ωt + kx)

Сложив эти уравнения и преобразовав результат по формуле для суммы синусов, получим:

у = y₁ + у₂ = 2А cos k x sin ωt (45)

Заменим волновое число kего значением 2π/λ. Тогда уравнение (45) примет вид:

у = 2Асоs 2π sin ωt (46)

Уравнение (46) есть уравнение стоячей волны. Из этого уравнения видно, что в каждой точке стоячей волны происходят колебания той же частоты, что и у встречных волн, причем амплитуда (у _max) зависит от х:

у _max = 2А cos 2π

В точках, координаты которых удовлетворяют условию

2π =±nπ (n = 0, 1,2, 3, ...), (47)

амплитуда колебаний достигает максимального значения (у _max = 2А). Эти точки называются пучностямистоячей волны. Из (47) получаются значения координат пучностей:

x_пучн = ± n (n = 0,1,2,3,…), (48)

В точках, координаты которых удовлетворяют условию

2π =±(n + )π (n = 0, 1,2, 3, ...),'

амплитуда колебаний обращается в ноль (у _max = 0). Эти точки называются узламистоячей волны. Точки среды, находящиеся в узлах, колебаний не совершают. Координаты узлов имеют значения

x_узл = ±(n + ) (n = 0, 1,2, 3, ...), (49)

Из формул 48 и 49 следует, что расстояние между соседними пучностями, так же как и расстояние между соседними узлами, равно λ/2. Пучности и узлы сдвинуты друг относительно друга на λ /4.