Примеры формальных аксиоматических теорий

I. Формальное исчисление высказываний. Алфавитэтой теории – это алфавит исчисления высказываний. Онсостоит из трёх групп символов: пропозициональных переменных: a, b, c, d, … , б₃₄₅ , v₉₆₄ , … , логических связок: , Ù , Ú , ® , « и служебных символов: ( , ).

Правила построения формул исчисления высказыванийизвестны:

(Ф1): любая пропозициональная переменная является формулой.

(Ф2): если A и В – формулы, то (A Ù B), (A Ú B), (A ® B), (A « B), – тоже формулы.

(Ф3): других формул нет.

Аксиомы формального исчисления высказыванийделятся на четыре группы схем аксиом, включающие 11 схем. Это значит, что в нижеследующих псевдоформулах буквы A , B , C – не символы алфавита теории, вместо них можно подставлять любые формулы исчисления высказываний. Таким образом, эти 11 схем аксиом на самом деле представляют бесконечное количество аксиом.

Группа аксиом импликации:

(И1): (A ® (B ® A))

(И2): ((A ® (B ® C)) ® ((A ® B) ® (A ® C)))

Группа аксиом конъюнкции:

(К1): ((A Ù B) ® A)

(К2): ((A Ù B) ® B)

(К3): ((A ® B) ® ((A ® C) ® (A ® (B Ù C))))

Группа аксиом дизъюнкции:

(Д1): (A ® (A Ú B))

(Д2): (B ® (A Ú B))

(Д3): ((A ® C) ® ((B ® C) ® (A Ú B ® C)))

Группа аксиом отрицания:

(О1): (A ® )

(О2): ( ® A)

(О3): ((A ® B) ® ( ® ))