Моменты случайных величин. Асимметрия и эксцесс

Среди числовых характеристик случайной величины особое место занимают моменты – начальные и центральные.

Определение. Начальным моментом k-го порядка случайной величины Х называется математическое ожидание k-ой степени этой величины:

.

(5.22)

Для дискретной случайной величины формула начального момента имеет вид:

.

(5.23)

Для непрерывной случайной величины:

.

(5.24)

Определение. Центральным моментом k-го порядка случайной величины Х называется математическое ожидание k-ой степени отклонения случайной величины Х от ее математического ожидания:

.

(5.25)

Для дискретной случайной величины формула центрального момента имеет вид:

.

(5.26)

Для непрерывной случайной величины:

.

(5.27)

Нетрудно заметить, что при k = 1 первый начальный момент случайной величины Х есть ее математическое ожидание (ν₁ = М(Х)), при k = 2 второй центральный момент – дисперсия (μ₂=D(Х)).

Т.е. первый начальный момент характеризует среднее значение распределения случайной величины Х; второй центральный момент – степень рассеяния распределения Х относительно математического ожидания. Для более подробного описания распределения служат моменты высших порядков.

Третий центральный момент μ₃ служит для характеристики асимметрии (т.е. скошенности) распределения. Он имеет размерность куба случайной величины. Чтобы получить безразмерную величину, ее делят на σ³, где σ – среднее квадратическое отклонение случайной величины Х. Полученная величина А называется коэффициентом асимметрии случайной величины:

.

(5.28)

Если распределение симметрично относительно математического ожидания, то коэффициент асимметрии равен нулю А = 0.

На рис. 5.2 показаны две кривые распределения 1 и 2. Кривая 1 имеет положительную (правостороннюю) асимметрию (А > 0), а кривая 2 – отрицательную (левостороннюю) асимметрию (А < 0).

Четвертый центральный момент μ₄ служит для характеристики крутости (островершинности или плосковершинности) распределения.

Эксцессом случайной величины называется число

.

(5.29)

(Число 3 вычитается из отношения потому, что для нормального распределения, которое встречается наиболее часто, отношение μ₄/σ⁴ = 3). Кривые, более островершинные, чем нормальная, обладают положительным эксцессом, более плосковершинные – отрицательным эксцессом.