Сопоставление двух эмпирических распределений

Пример 13.13. Интересно сопоставить данные, полученные в предыдущем примере, с данными обследования X. Кларом 800 испытуемых (Klar. H, 1974.) X. Кларом было показано, что желтый цвет является единственным цветом, распределение которого по 8 позициям не отличается от равномерного. Для сопоставлений им использовался метод χ². Полученные им эмпирические частоты представлены в таблице 13.17.

Таблица 13.17

Эмпирические частоты попадания желтого цвета на каждую из 8 позиций в исследовании X. Клара (по: Klar H., 1974) (n = 800)

Сформулируем гипотезы

H₀: Эмпирические распределения желтого цвета по 8 позициям в отечественной выборке и выборке Х. Клара не различаются.

H₁: Эмпирические распределения желтого цвета по 8 позициям в отечественной выборке и выборке X. Клара отличаются друг от друга.

Поскольку в данном случае мы будем сопоставлять накопленные эмпирические частости по каждому разряду, теоретические частости нас не интересуют.

Все расчеты будем проводить в таблице по алгоритму.

АЛГОРИТМ
расчета критерия λ при сопоставлении двух эмпирических

распределений

1. Занести в таблицу наименования разрядов и соответствующие им эмпирические частоты, полученные в распределении 1 (первый столбец) и в распределении 2 (второй столбец).

2. Подсчитать эмпирические частости по каждому разряду для распределения 1 по формуле:

f^*_э = f_э/n₁,

где f_э – эмпирическая частота в данном разряде;

n₁ – количество наблюдении в выборке.

Занести эмпирические частости распределения 1 в третий столбец.

3. Подсчитать эмпирические частости по каждому разряду для распределения 2 по формуле:

f^*_э = f_э/n₂,

где f_э – эмпирическая частота в данном разряде;

n₂ – количество наблюдений во 2-й выборке.

Занести эмпирические частости распределения 2 в четвертый столбец таблицы.

4. Подсчитать накопленные эмпирические частости для распределения 1 по формуле:

∑f^*_j = ∑f^*_j-1 + f^*_j,

где ∑f^*_j-1 – частость, накопленная на предыдущих разрядах;

j – порядковый номер разряда;

f^*_j-1 – частость данного разряда.

Полученные результаты записать в пятый столбец.

5. Подсчитать накопленные эмпирические частости для распределения 2 по той же формуле и записать результат в шестой столбец.

6. Подсчитать разности между накопленными частостями по каждому разряду. Записать в седьмой столбец абсолютные величины разностей без их знака. Обозначить их как d.

7. Определить по седьмому столбцу наибольшую абсолютную величину разности d_max.

8. Подсчитать значение критерия λ по формуле:

,

где n₁ – количество наблюдений в первой выборке;

n₂ – количество наблюдении во второй выборке.

9. По таблице 17-Б приложения 1 определить, какому уровню статистической значимости соответствует полученное значение λ. Если λ_эмп ≥ l,36, различия между распределениями достоверны.

Последовательность выборок может быть выбрана произвольно, так как расхождения между ними оцениваются по абсолютной величине разностей. В нашем случае первой будем считать отечественную выборку, второй – выборку Клара.

Таблица 13.18

Расчет критерия при сопоставлении эмпирических распределений желтого цвета в отечественной выборке (n₁ = 102) и выборке Клара (n₂ = 800)

Максимальная разность между накопленными эмпирическими частостями составляет 0,118 и падает на второй разряд.

В соответствии с пунктом 8 алгоритма 15 подсчитаем значение λ:

.

По таблице 17-Б приложения 1 определяем уровень статистической значимости полученного значения: р = 0,16.

Построим для наглядности ось значимости.

На оси указаны критические значения λ, соответствующие принятым уровням значимости: λ_0,05 = 1,36, λ_0,01 = 1,63.

Зона значимости простирается вправо, от 1,63 и далее, а зона незначимости – влево, от 1,36 к меньшим значениям.

λ_эмп < λ_кр^.

Ответ: H₀ принимается. Эмпирические распределения желтого цвета по 8 позициям в отечественной выборке и выборке X. Клара совпадают. Таким образом, распределения желтого цвета в двух выборках не различаются, но в то же время они по-разному соотносятся с равномерным распределением: у Клара отличий от равномерного распределения не обнаружено, а в отечественной выборке различия обнаружены (р < 0,05).