Сравнение двух экспериментальных распределений

На практике значительно чаще встречаются задачи, в которых необходимо сравнивать не теоретическое распределение с эмпирическим, а два и более эмпирических распределения между собой. Ниже будут рассмотрены типичные варианты задач, предусматривающих сравнение экспериментальных распределений (данных) и способы их решения с использованием критерия хи-квадрат.

В этих задачах с помощью критерия хи-квадрат проводится оценка однородности двух и более независимых выборок и таким образом проверяется гипотеза об отсутствии различий между двумя и более эмпирическими (экспериментальными) распределениями.

Исходные данные двух эмпирических распределений для сравнения между собой могут быть представлены разными способами. Наиболее простой из этих способов: так называемая «четырехпольная таблица». Она используется в тех случаях, когда в первой выборке имеются два значения (числа) и во второй выборке также два значения (числа). Критерий хи-квадрат позволяет также сравнивать между собой три, четыре и большее число эмпирических величин. Для расчетов во всех этих случаях используются различные модификации формулы (13.1), что позволяет существенно облегчить процесс вычисления.

Начнем изучение сравнения двух эмпирических распределений с самого простого случая – использования четырехпольной таблицы.

Пример 13.5. (Задача взята из учебного пособия «Психологическая диагностика» / под ред. К. М. Гуревича и М. К. Акимовой. – М. : Изд-во УРАО, 1997.) Одина­ков ли уровень подготовленности учащихся в двух школах, если в первой школе из 100 человек поступили в вуз 82 человека и во второй школе из 87 человек поступили в вуз 44?

Решение. Условия задачи можно представить в виде четырехпольной таблицы 13.6, ячейки которой обозначаются обычно как А, В, С и D.

Таблица 13.6

Сформулируем гипотезы

Н₀: Уровень подготовленности учащихся в двух школах является одинаковым.

Н₁: Уровень подготовленности учащихся в двух школах не является одинаковым.

Согласно данным, представленным в таблице 13.6, в нашем случае имеется четыре эмпирические частоты, это соответственно 82, 44, 18 и 43. Для того чтобы можно было использовать формулу (13.1), необходимо для каждой из этих эмпирических частот найти соответственные «теоретические» частоты. Здесь и далее, в других задачах этого раздела, «теоретические» частоты вычисляются на основе имеющихся эмпирических частот разными способами, в зависимости от типа задачи. Вычислим четыре теоретических частоты в нашем случае.

Из таблицы 13.6 следует, что 18 и 43 человека из первой и второй школ соответственно не поступили в вуз. Относительно этих величин подсчитывается величина Р. Это так называемая доля признака, или частота. В данном случае признаком явилось то, что выпускники не поступили в вуз. Величина Р подсчитывается по формуле (13.5) следующим образом:

. (13.5)

Величина Р позволяет рассчитать «теоретические» частоты для третьей строчки таблицы 13.6, которые обозначим как f_m1 и f_m2. Эти частоты показывают, сколько учащихся из первой и второй школ не должны были поступить в вуз. Они подсчитываются следующим образом:

f_ml для первой школы = 0,33∙100 = 33;

f_m2 для второй школы = 0,33∙87 = 28,71.

Иными словами, из первой школы не должны были поступить в вуз 33 человека, а из второй 28,71. (Для большей точности вычислений по методу хи-квадрат желательно не округлять результаты вычислений, а сохранять сотые и даже тысячные значения после запятой.) Исходя из вновь полученных «теоретических» частот – 33 и 28,71, мы можем произвести расчет того, сколько учащихся должны были бы теперь поступить в вуз из первой и второй школ. Обозначим эти частоты как f_m3 для первой и f_m4 для второй школ, получим соответственно:

f_m3 для первой школы 100 – 33 = 67;

f_m4 для второй школы 87 – 28,71 = 58,29.

Перепишем полученные «теоретические» частоты в новую таблицу 13.7.

Таблица 13.7

Подчеркнем, что сумма по столбцам для вновь найденных «теоретических» частот должна совпадать с исходной, т. е. 67 + 33 = 100 и 82 + 18 = 100, аналогично – 58,29 + 28,71 = 87 и 44 + 43 = 87. Подчеркнем также, что при расчетах «теоретических» частот им можно было бы дать и другое символическое обозначение, более привычное. Так, первую подсчитанную «теоретическую» частоту, представленную в ячейке С таблицы 13.7, можно было бы обозна­чить не как f_m1 = 33, а как f_m3 = 33 и так далее. Это, однако, не принципиально, главное производить вычисления строго по ал­горитму, в соответствии с формулой (13.1).

Теперь величина хи-квадрат эмпирическая подсчитывается по знакомой формуле (13.1). Для этого из величин, представленных в ячейках таблицы 13.6, вычитаются соответствующие величины, представленные в ячейках таблицы 13.7:

.

В данном случае число степеней свободы ν = (k – 1)∙(с – 1) подсчитывается как произведение числа столбцов минус 1 на число строк минус 1. Иными словами, ν = (2 – 1)∙(2 – 1) = 1, поскольку у нас 2 строки и два столбца. И в соответствии с таблицей 16 приложения 1 находим:

Строим «ось значимости».

Полученная величина χ²_эмп попала в зону значимости. Иными словами, следует принять гипотезу Н₁ о наличии различий между двумя эмпирическими распределениями. Таким образом, уровень подготовленности учащихся в двух школах оказался разным. На основе эмпирических данных мы можем теперь утверждать, что уровень подготовленности учащихся в первой школе существенно выше, чем во второй. Без использования критерия хи-квадрат такого вывода мы сделать бы не могли.

Решим аналогичную задачу, т. е. задачу в которой сравниваются две выборки, имеющие по два значения, но другим способом.

Пример 13.6. В двух школах района психолог выяснял мнения учителей об организации психологической службы в школе. В первой школе было опрошено 20 учителей, во второй 15. Психолога интересовал вопрос: в какой школе психологическая служба поставлена лучше? Учителя давали ответы по номинативной шкале – нравится (да), не нравится – (нет).

Решение. Результаты опроса представим в виде четырехпольной таблицы 13.8.

Таблица 13.8

Сформулируем гипотезы

Н₀: Уровень психологической службы в двух школах является одинаковым.

Н₁: Уровень психологической службы в двух школах не является одинаковым.

Величина эмпирического значения хи-квадрат подсчитывается здесь по-другому, согласно следующей формуле:

, (13.6)

где N = A + B + C + D – или общее число учителей, приняв­ших участие в опросе.

Подставляем исходные данные в формулу (13.6) получаем:

.

В данном случае число степеней свободы ν = (k – 1)∙(с – 1) подсчитывается как произведение числа столбцов минус 1 на число строк минус 1. Иными словами, ν = (2 – 1)∙(2 – 1) = 1, поскольку у нас 2 строки и 2 столбца. И в соответствии с таблицей 16 приложения 1 находим:

Строим «ось значимости».

Полученная величина χ²_эмп попала в зону незначимости. Иными словами, следует принять гипотезу H₀ об отсутствии различий между двумя эмпирическими распределениями. Таким образом, уровень организации психологической службы в обеих школах оказался одинаковым.

Теперь решим задачу, в которой сравниваются две выборки, имеющие по четыре значения каждая.

Пример 13.7. В двух школах района выяснялась успешность знания алгебры учащимися десятых классов. Для этого в обеих школах были случайным образом отобраны 50 учащихся и с ними проведены контрольные работы. Проверялось предположение о том, что существенной разницы в уровне знаний учащимися алгебры в двух школах не существует.

Решение. Результаты контрольных работ представим сразу в виде таблицы 13.9.

Таблица 13.9

Сформулируем гипотезы

Н₀: Существенной разницы в уровне знаний учащимися алгебры в двух школах не существует.

Н₁: Существенная разница в уровне знаний учащимися алгебры в двух школах существует.

В таблице 13.9 О₁₁ – число учащихся первой школы, получивших оценку 2 в контрольной работе по алгебре, О₁₂ – число учащихся первой школы, получивших оценку 3 в контрольной работе по алгебре, О₁₃ – число учащихся первой школы, получивших оценку 4 в контрольной работе по алгебре и т. д.

Подчеркнем, что «визуальный» анализ данных таблицы 13.9 показывает, что во второй школе число «двоечников» в три раза больше, чем в первой, и, наряду с этим, число «отличников» в два раза меньше, чем в первой школе. Казалось бы, можно сделать вывод о том, что вторая школа показывает существенно худшие результаты, чем первая. Однако подобные утверждения можно делать только на основе статистической обработки экспериментальных данных.

В общем случае для подобных задач подсчет эмпирического значения хи-квадрат осуществляется по формуле (13.7), являющейся модификацией формулы (13.2):

. (13.7)

Подставим данные нашего примера в формулу (13.7), получим

.

Число степеней свободы в данном случае равно ν = (k – 1)∙(с – 1) = (2 – 1)∙(4 – 1) = 3. По таблице 16 приложения 1 находим

Строим «ось значимости».

Полученные различия попали в зону незначимости. Иными словами, следует принять нулевую гипотезу Н₀ о сходстве или о том, что уровень знания учащимися алгебры в двух разных школах статистически значимо не отличается между собой. Выше при простом визуальном анализе экспериментальных данных мы высказывали предположение, что во второй школе успеваемость учащихся по алгебре существенно хуже, чем в первой, однако, критерий хи-квадрат показал, что это далеко не так.

Задачи, аналогичные рассмотренной выше, т. е. с большим числом значений в сравниваемых выборках, можно решить и другим способом, используя хорошо знакомую нам формулу (13.1). Рассмотрим этот способ на примере решения примера 13.8.

Пример 13.8. Каково сходство в степени удовлетворенности работой на одном предприятии у двух неравных по численности групп? (Можно рассматривать эту задачу как продолжение задачи 13.3).

Решение. Для решения этой задачи психолог провел на том же предприятии (как в задаче 13.3) опрос о степени удовлетворенности работой еще в одной группе, но уже из 80 респондентов. Теперь у психолога есть две выборки испытуемых, первая – 65 человек и вторая – 80 человек. Полученные данные позволяют использовать критерий хи-квадрат по-разному:

· во-первых, на новой выборке из 80 респондентов можно решить задачу, аналогичную задаче 13.3;

· во-вторых, объединив две выборки, можно опять решить задачу, аналогичную задаче 13.3;

· в-третьих, можно сравнить распределения выбора альтернатив двух выборок (первой и второй), т. е. сравнить степень удовлетворенности работой двух групп респондентов, и решить необходимую нам задачу 13.8.

Для решения задачи 13.8 на основе знания эмпирических частот первого и второго обследований необходимо вычислить «теоретические» частоты по всей совокупности данных, поскольку в противном случае невозможно будет применить формулу (13.1).

Это осуществляется следующим образом: сумма эмпирических частот 65 + 80 = 145 равна общему количеству респондентов, опрошенных психологом.

Представим долю частот первой выборки в виде дроби: .

Представим долю частот второй выборки также в виде дроби: .

Особо подчеркнем, что «теоретические» частоты необходимо рассчитать для каждой альтернативы (вариантов ответов) отдельно для обеих выборок.

Для этого по каждой альтернативе суммируем эмпирические частоты первой и второй выборок. Поскольку для первой альтернативы в первой выборке f_э = 8, а во второй выборке f_э = 18, то их сумма будет равна 8 + 18 = 26. Для второй альтернативы в первой выборке f_э = 22, во второй f_э = 20, тогда их сумма равняется 22 + 20 = 42. И так далее для каждой альтернативы.

«Теоретическая» частота каждого варианта ответа в обеих выборках получается как результат умножения суммы эмпирических частот на соответствующую процентную долю, представленную в виде десятичной дроби.

Поскольку частоты выбора первого варианта ответа (альтернативы) составляют в обеих выборках 8 + 18 = 26, то

f_m для 1-й выборки = 26∙0,45 = 11,7;

f_m для 2-й выборки = 26∙0,55 = 14,3.

Поскольку частоты выбора второго варианта ответа (альтернативы) составляют в обеих выборках 20 + 22 = 42, поэтому:

f_m для 1-й выборки = 42∙0,45 = 18,9;

f_m для 2-й выборки = 42∙0,55 = 23,1.

Поскольку частоты выбора третьего варианта ответа (альтернативы) составляют в обеих выборках 18 + 14 = 32, поэтому:

f_m для 1-й выборки = 32∙0,45 = 14,4;

f_m для 2-й выборки = 32∙0,55 = 17,6.

Поскольку частоты выбора четвертого варианта ответа (альтернативы) составляют в обеих выборках 11 + 9 = 20, поэтому:

f_m для 1-й выборки = 20∙0,45 = 9;

f_m для 2-й выборки = 20∙0,55 =11.

Поскольку частоты выбора пятого варианта ответа (альтернативы) составляют в обеих выборках 13 + 12 = 25, поэтому:

f_m для 1-й выборки = 25∙0,45 = 11,25;

f_m для 2-й выборки = 25∙0,55 = 13,75.

Следует помнить, что суммы рассчитанных «теоретических» частот по каждой альтернативе должны совпадать с суммой эмпирических частот по этой же альтернативе. Проверим правильность этого положения для рассчитанных «теоретических» частот.

Для первого варианта ответа 11,7 + 14,3 = 26 = 8 + 18.

Для второго варианта ответа 18,9 + 23,1 = 42 = 22 + 20.

Для третьего варианта ответа 14,4 + 17,6 = 32 = 14 + 18.

Для четвертого варианта ответа 9 + 11 = 20 = 9 + 11.

Для пятого варианта ответа 11,25 + 13,75 = 25 = 12 + 13.

Теперь, для того чтобы использовать формулу (13.1), нужно объединить полученные эмпирические и «теоретические» частоты двух выборок в стандартную таблицу 13.10. Поскольку сравниваются только две выборки, то вместо одной альтернативы в таблице 13.10 будет две альтернативы под номерами 1.1 и 1.2 – это, соответственно, две первые альтернативы для первой и для второй выборки и так далее.

Таблица 13.10

Альтернативы	fэ	fm
1.1		11,7	– 3,7	13,69	1,17
1.2		14,3	+ 3,7	13,69	0,96
2.1		18,9	+3,1	9,61	0,51

Окончание табл. 13.10

Сформулируем гипотезы

Н₀: Существует сходство в степени удовлетворенности работой на одном предприятии у двух неравных по численности групп.

Н₁: Существует различие в степени удовлетворенности работой на одном предприятии у двух неравных по численности групп.

При сопоставлении двух эмпирических распределений число степеней свободы определяется по формуле: ν = (k – 1)∙(с – 1), где k – число строк в таблице эмпирических частот только для первой выборки (или только для второй); с – количество сравниваемых распределений.

В нашем случае k = 5, с = 2, следовательно, ν = (5 – 1)∙(2 – 1) = 4.

По таблице 16 приложения 1 находим:

Строим «ось значимости».

Полученные различия попали в зону незначимости, т.е. сле­дует принять нулевую гипотезу Н₀ о сходстве. Иными словами, распределения двух выборок значимо не отличаются между собой, и, следовательно, у двух групп опрошенных респондентов отсутствуют предпочтения в выборе удовлетворенности или неудовлетворенности работой.

Число переменных в сравниваемых выборках может быть достаточно большим. В этом случае целесообразно использовать специальный прием группировки значений по интервалам. Число интервалов удобнее всего получать, используя таблицу 13.11.

Таблица 13.11

В двух следующих задачах сравниваются две выборки, в которых значений переменных столь много, что предыдущие способы сравнения оказываются трудновыполнимыми.

Пример 13.9. Психолог сравнивает два эмпирических распределения, в каждом из которых было обследовано 200 человек по тесту интеллекта. Вопрос: различаются ли между собой эти два распределения?

Решение. Представим эмпирические данные в виде таблицы 13.12, в которой приведены также предварительные расчеты, необходимые для получения χ²_эмп.

Таблица 13.12

Уровни интеллекта	Частоты	f1 ∙ f1	f1 +f2
f1	f2
					0,50
					3,12
					12,04
					30,22
					31,01
					21,68
					5, 88
					0,33
					0,00
Сумма					104,78

Сформулируем гипотезы

Н₀: Распределения уровней интеллекта в двух равных по численности выборках статистически значимо не отличаются между собой.

Н₁: Распределения уровней интеллекта в двух равных по численности выборках статистически значимо отли­чаются между собой.

Для случая равенства числа испытуемых в первой и второй выборках расчет производится по формуле (13.8):

, (13.8)

где f₁ – частоты первого распределения, а f₂ – частоты второго. N – число элементов в каждой выборке. В нашем случае в каждой из выборок оно равно 200.

Произведем расчет по формуле (13.8), основываясь на результатах таблицы 13.12:

χ²_эмп = 4 ∙ 104,78 – 2 ∙ 200 = 419,12 – 400 = 19,12.

В данном случае число степеней свободы ν = (k – 1)∙(с – 1) = (9 – 1)∙(2 – 1) = 8, где k – число интервалов разбиения, а с – число столбцов. В соответствии с таблицей 16 приложения 1 находим:

Строим «ось значимости».

Полученные различия попали в зону неопределенности. Психолог может как принять, так и отклонить гипотезу Н₀.

Рассмотрим еще одну аналогичную задачу, в которой число значений в каждой из выборок различно. В этом случае используют другую формулу расчета.

Пример 13.10. Психолог сравнивает два эмпирических распределения, в каждом из которых было обследовано по тесту интеллекта разное количество испытуемых. Вопрос – различаются ли между собой эти два распределения?

Решение. Представим эмпирические данные сразу в виде таблицы 13.13, отметив при этом, что число градаций IQ увеличилось, в отличие от таблицы 13.12, до 150.

Таблица 13.13

Уровни интеллекта	Частоты	f1 ∙ f1	f1 +f2
f1	f2
					1,00
					8,00
					22,04
					21,95
					25,78
					5,54
					4,90
					2,00
					0,00
					0,50
Сумма					91,71

Сформулируем гипотезы

Н₀: Распределения уровней интеллекта в двух неравных по численности выборках статистически значимо не отличаются между собой.

Н₁: Распределения уровней интеллекта в двух неравных по численности выборках статистически значимо отличаются между собой.

В таблице 13.13 произведены предварительные расчеты, необходимые для вычисления эмпирического значения критерия хи-квадрат при условии разного числа испытуемых в первой и второй выборках. В этом случае расчет производится по формуле (13.9):

, (13.9)

где f₁ – частоты первого распределения, f₂ – частоты второго. N – сумма числа элементов в первой n_l и второй n₂ выборках. В нашем случае оно равно 177 = 124 + 53, а сумма уже подсчитана в нижней строчке последнего столбца таблицы 13.13.

Осталось произвести расчет по формуле (13.9.).

χ²_эмп = 177 ∙ 177/(124 ∙ 53)∙(91,71 – (124 ∙ 124)/177) = 23,07

В данном случае число степеней свободы ν = (к – 1)∙(с – 1) = (10 – 1)∙(2 – 1) = 9, где k – число интервалов разбиения, а с – число столбцов. В соответствии с таблицей 16 приложения 1 находим:

Строим «ось значимости».

Полученная величина эмпирического значения хи-квадрат попала в зону значимости. Иными словами, следует принять ги­потезу Н₁ о том, что распределения уровней интеллекта в двух неравных по численности выборках статистически значимо отли­чаются между собой.