Стационарная случайная функция и свойства ее характеристик.

На практике встречаются процессы, которые имеют вид непрерывных случайных колебаний относительно некоторого среднего значения. При этом средняя амплитуда и характер этих колебаний с течением времени существенно не изменяется; их реализации имеют примерно одинаковый характер. Такие процессы относят к стационарным случайным процессам.

Случайный процесс называют стационарным, если n-мерная плотность вероятности не меняется при любом сдвиге всей группы точек вдоль оси времени, т.е.

. (6.10)

Примерами таких процессов являются: шумы в приемнике после его включения; шумы ламп, полупроводниковых приборов, резисторов, колебания самолета на установившемся режиме полета, случайные ошибки автоматических систем относятся к стационарным случайным процессам (рис. 6.7).

Рисунок 6.7 – Реализации стационарного случайного процесса

К нестационарным случайным процессам обычно относят, например, шумы приемника при его включении, модулированные по амплитуде и частоте шумовые колебания, потребление электроэнергии в городе в течение суток и другие не установившиеся случайные процессы (рис. 6.8).

Рисунок 6.8 – Нестационарные случайные процессы

Случайный процесс X(t), у которого вероятностные характеристики при любом совпадают с соответствующими характеристиками случайного процесса , называют стационарным в узком (строгом) смысле.

Случайный процесс X(t) называют стационарным, если математическое ожидание является постоянным, а корреляционная функция зависит только от разности аргументов, т.е. , а . Такой случайный процесс является стационарным в широком смысле.

Из определения стационарности процесса вытекает, что среднее значение во всех сечениях процесса остается постоянным и не зависит от времени. Это значит, что оно является характеристикой не отдельных сечений, а процесса в целом. При этом математическое ожидание характеризует положение реализаций относительно оси абсцисс. Если оно равно нулю, то это означает, что отклонения в положительную и в отрицательную сторону в среднем одинаковы.

Корреляционная функция стационарного случайного процесса характеризуется следующими основными свойствами.

1 Дисперсия стационарного случайного процесса постоянна и равна значению корреляционной функции в начале координат, т.е.

.

2 Корреляционная функция стационарного случайного процесса является четной, т.е.

.

График корреляционной функции геометрически представляет собой симметричную относительно оси ординат кривую. Часто в различных приложениях встречается показательная корреляционная функция (рис. 6.9).

.

Рисунок 6.9 – График показательной корреляционной функции

Нормированная корреляционная функция стационарного случайного процесса , представляет собой коэффициент корреляции, зависящий только от величины .

Случайный процесс называется эргодическим, если любая ее реализация несет в себе всю информацию о случайном процессе.

Рисунок 6.10 – Реализация стационарного случайного процесса

Эргодическое свойство имеют те стационарные случайные функции, которые не содержат в своем составе обыкновенную случайную величину.

Если стационарная случайная функция X(t) обладает эргодическим свойством, то:

а) ее математическое ожидание приближенно равно средней по времени ординате одной произвольно взятой реализации достаточно большой продолжительности (рис. 6.10):

; (6.11)

б) значение корреляционной функции при любом значении приближенно равно произведению отклонения одной реализации в точках, отстоящих друг от друга на величину , от математического ожидания стационарной случайной функции

. (6.12)

Если , то и

.