Операторы координат, импульсов и их функций
& Литература: [8], [3], [1], [7].
Чтобы с помощью операторов получать наблюдаемые на опыте результаты, нужно установить, какие именно операторы следует сопоставлять тем или иным величинам. Установим вначале, какой оператор следует сопоставлять радиус-вектору частицы . Для этого воспользуемся формулами (9.1), по которым вычисляются средние значения. В координатном представлении эти формулы дают:
á ñ = = = .
Из последнего равенства следует, что в качестве оператора следует взять оператор умножения на . Фактически установлен вид операторов координат: = x, = y, = z.
Оператор импульса подбирается, исходя из того, что волна де Бройля, описывающая состояние с определенным импульсом , должна быть собственной функцией оператора , соответствующей собственному значению :
= , = A exp , = →
=–i ħ =–i ħ . =–i ħ , = –i ħ , = –i ħ . (11.1)
Итак, установлены операторы координат и импульсов. Они удовлетворяют следующим перестановочным соотношениям:
[x ] = i ħ, [x ] = [ ] = [x y]=0, (11.2)
а также аналогичным выражениям с заменой x→y→z→x.
Перестановочные соотношения имеют большое значение в квантовой механике. В соответствии с теоремой о коммутирующих операторах из (11.2) следует, что несовместными величинами являются координата и соответствующая ей проекция импульса. Для несовместных величин имеет место соотношение неопределенностей. Оно устанавливается следующей теоремой.
Если операторы величин F и G связаны с некоторым самосопряженным оператором равенством [ ] = i , то для неопределенностей этих величин DF и DG имеет место соотношение DF DG ≥ áKñ. (11.3)
Смысл обозначений в (11.3) следующий: áKñ= , DF = , где = – áFñ, áFñ= , величина DG аналогична DF.
Для доказательства теоремы следует воспользоваться вспомогательным вектором ÷jñ = (a – i )÷Yñ, где a – действительное число, а i – мнимая единица. Скалярный квадрат этого вектора положителен. Он является функцией параметра a: = f(a) = a2DF2 + a áKñ + DG2. При получении этого выражения следует учесть, что операторы и связаны такими же соотношениями, как и операторы и . Квадратный трехчлен f(a) положителен, если его дискриминант меньше нуля. Отсюда и получается соотношение (11.3).
Применение данной теоремы к операторам координат и импульсов, для которых справедливы перестановочные соотношения (11.2), дает соотношение неопределенностей Гейзенберга Dx Dpx ≥ ħ / 2.
Построение операторов величин, которые в классической физике выражаются через координаты и импульсы, осуществляется по следующему правилу: соотношения между операторами физических величин такие же, как и между соответствующими величинами в классической физике. Это правило вместе с другими постулатами подтверждается согласием теории с практикой. Руководствуясь данным правилом, получим выражения для операторов потенциальной функции , кинетической энергии и оператора Гамильтона (гамильтониана):
= U( , = = , =– + ( . (11.4)
? Контрольные вопросы
1. Расскажите о подборе операторов координат.
2. Получите выражение для оператора импульса.
3. Какие из операторов координат и импульсов коммутируют, а какие нет?
4. Расскажите о физических следствиях перестановочных соотношений (11.2).
5. Что является обобщением соотношения неопределенностей Гейзенберга?
6. Какой точный смысл имеют величины, входящие в соотношение неопределенностей Гейзенберга?
7. Запишите оператор Гамильтона.
8. Совместны ли кинетическая и потенциальная энергии?
|
Д. 11.1.Коммутационные соотношения для операторов координат и импульсов.
Д. 11.2.Соотношение неопределенностей произвольных несовместных величин.
11.2. Состояние электрона описывается функцией
|
|
0, если x< 0, x > a.
Найти среднюю кинетическую энергию электрона в этом состоянии.
Дата добавления: 2021-11-16; просмотров: 256;