Операторы координат, импульсов и их функций

& Литература: [8], [3], [1], [7].

Чтобы с помощью операторов получать наблюдаемые на опыте результаты, нужно установить, какие именно операторы следует сопоставлять тем или иным величинам. Установим вначале, какой оператор следует сопоставлять радиус-вектору частицы . Для этого воспользуемся формулами (9.1), по которым вычисляются средние значения. В координатном представлении эти формулы дают:

á ñ = = = .

Из последнего равенства следует, что в качестве оператора следует взять оператор умножения на . Фактически установлен вид операторов координат: = x, = y, = z.

Оператор импульса подбирается, исходя из того, что волна де Бройля, описывающая состояние с определенным импульсом , должна быть собственной функцией оператора , соответствующей собственному значению :

= , = A exp , = →

=–i ħ =–i ħ . =–i ħ , = –i ħ , = –i ħ . (11.1)

Итак, установлены операторы координат и импульсов. Они удовлетворяют следующим перестановочным соотношениям:

[x ] = i ħ, [x ] = [ ] = [x y]=0, (11.2)

а также аналогичным выражениям с заменой x→y→z→x.

Перестановочные соотношения имеют большое значение в квантовой механике. В соответствии с теоремой о коммутирующих операторах из (11.2) следует, что несовместными величинами являются координата и соответствующая ей проекция импульса. Для несовместных величин имеет место соотношение неопределенностей. Оно устанавливается следующей теоремой.

Если операторы величин F и G связаны с некоторым самосопряженным оператором равенством [ ] = i , то для неопределенностей этих величин DF и DG имеет место соотношение DF DG ≥ áKñ. (11.3)

Смысл обозначений в (11.3) следующий: áKñ= , DF = , где = – áFñ, áFñ= , величина DG аналогична DF.

Для доказательства теоремы следует воспользоваться вспомогательным вектором ÷jñ = (a – i )÷Yñ, где a – действительное число, а i – мнимая единица. Скалярный квадрат этого вектора положителен. Он является функцией параметра a: = f(a) = a²DF² + a áKñ + DG². При получении этого выражения следует учесть, что операторы и связаны такими же соотношениями, как и операторы и . Квадратный трехчлен f(a) положителен, если его дискриминант меньше нуля. Отсюда и получается соотношение (11.3).

Применение данной теоремы к операторам координат и импульсов, для которых справедливы перестановочные соотношения (11.2), дает соотношение неопределенностей Гейзенберга Dx Dp_x ≥ ħ / 2.

Построение операторов величин, которые в классической физике выражаются через координаты и импульсы, осуществляется по следующему правилу: соотношения между операторами физических величин такие же, как и между соответствующими величинами в классической физике. Это правило вместе с другими постулатами подтверждается согласием теории с практикой. Руководствуясь данным правилом, получим выражения для операторов потенциальной функции , кинетической энергии и оператора Гамильтона (гамильтониана):

= U( , = = , =– + ( . (11.4)

? Контрольные вопросы

1. Расскажите о подборе операторов координат.

2. Получите выражение для оператора импульса.

3. Какие из операторов координат и импульсов коммутируют, а какие нет?

4. Расскажите о физических следствиях перестановочных соотношений (11.2).

5. Что является обобщением соотношения неопределенностей Гейзенберга?

6. Какой точный смысл имеют величины, входящие в соотношение неопределенностей Гейзенберга?

7. Запишите оператор Гамильтона.

8. Совместны ли кинетическая и потенциальная энергии?

F

Задания

Д. 11.1.Коммутационные соотношения для операторов координат и импульсов.

Д. 11.2.Соотношение неопределенностей произвольных несовместных величин.

11.2. Состояние электрона описывается функцией

Yn =

n = 1, 2, …

sin , если 0 £ x £ a

0, если x< 0, x > a.

Найти среднюю кинетическую энергию электрона в этом состоянии.