Переход от квантовых уравнений движения

К классическим

& Литература: [1], [3].

Уравнения движения в форме Гейзенберга позволяют наглядно и детально проследить переход от квантовой механики к классической физике, который имеет место, когда величина ħ становится пренебрежимо малой.

Запишем уравнения Гейзенберга для радиус-вектора частицы и ее импульса : = { , }; = { , }. (16.1)

Точно такими же по форме оказываются классические уравнения Гамильтона, выраженные через скобки Пуассона, если в формуле (16.1) опустить значки операторов и скобки Пуассона считать классическими. Эта аналогия имеет глубокий смысл. Она не сводится к одинаковым обозначениям и похожим названиям разных объектов: «квантовые скобки Пуассона» и «классические скобки Пуассона». В этом можно убедиться, если раскрыть скобки Пуассона. Тогда уравнения (16.1) преобразуются к виду

= ; = , (16.2)

где m – масса частицы, = – U, а U – потенциальная функция. Уравнения (16.2) без значков операторов – знакомая даже из физики средней школы пара уравнений Гамильтона, правда, без такого названия. Видим, что уравнения движения в форме Гейзенберга согласуются с общим правилом, по которому операторы величин в квантовой механике связаны такими же соотношениями, как и соответствующие им величины в классической физике.

Если равны операторы, то равны и соответствующие им средние значения. Поэтому из (16.2) получаются равенства:

< > = < > / m ; < > = < >, (16.3)

выражающие теоремы Эренфеста: соотношения классической механики между скоростью, импульсом и силой справедливы в случае микрочастиц для средних значений этих величин.

Если бы все другие связи между величинами можно было перенести на их средние значения, то квантовая механика превратилась бы в классическую механику для средних значений. Так можно было бы поступить, если бы функциональные зависимости, в частности, для силы ( ) и для кинетической энергии T( ) можно было отнести к средним значениям соответствующих величин, то есть:

< ( ) > = (< >) , < T( ) > = T(< >) . (16.4)

Принимая во внимание процедуру усреднения, трудно ожидать, вообще говоря, справедливости равенств (16.4). Однако их можно рассматривать при определенных условиях как некоторые приближения.

Посмотрим, при каких условиях приближения (16.4) возможны. Ограничимся одномерным случаем. Разложим операторные функции в степенные ряды в окрестности средних значений:

( ) ® (x) = F(<x>) + + ² + … , (16.5)

( ) ® ( ) = T(< >) + + ² + … . (16.6)

Взяв соответствующие операторам (16.5) и (16.6) средние значения и принимая во внимание, что <Dx> = 0 и <Dp_x> = 0, приходим к выводу, что равенства (16.4) приближенно имеют место, если

ô ²ô << ôF(<x>)ô и ² << T(< >). (16.7)

Условия (16.7) можно упростить, если привлечь соотношение неопределенностей Гейзенберга ^{2 2} ³ ħ² / 4. Учтем также, что T = p_x² / (2 m) ® = 1 / m. Тогда получим вместо (16.7) неравенство

m T ô ô >> . (16.8)

При выполнении этого неравенства можно пользоваться классической физикой, отождествляя значения переменных с их средними значениями.