Уравнение Эйлера. Теоретический и действительный напоры

Физический смысл уравнения Эйлера применительно к ЦН заключается в установлении зависимости между энергией, сообщаемой потоку в РК насоса, и скоростями потока на выходе и входе в колесо. Для его вывода используются теоремы количества движения и момента количества движения. Предполагается, что поток, проходящий через межлопастные каналы, плоский (определяется только двумя компонентами: с_и и с_r).

Конечный вид уравнения удельной теоретической работы (не учитываются потери энергии в проточной части колеса):

(5)

Это одно из уравнений ЦМ вообще и ЦН в частности. Оно впервые получено Л. Эйлером и носит его имя. С другой стороны, ( — теоретический напор колеса ЦН при бесконечном числе лопастей). Откуда

(6)

Учитывая, что выражение (6) выведено без ограничений на взаимное расположение лопастей и оси вращения РК насоса, величину углов лопасти и треугольников скоростей, оно справедливо при определении напора для любых РК лопастных насосов (центробежных, диагональных и осевых), несмотря на то что они имеют разное расположение лопастей, разные углы, скорости. При формула (6) имеет вид

(7)

Из анализа выражения (7) следует: с увеличением со возрастает , наблюдается связь (напор пропорционален w²); с увеличением выходного диаметра РК увеличивается , имеется связь (при напор пропорционален D²); с увеличением с₂ на выходе РК растет , имеется связь ; профилируя лопасть РК с углом (безударный вход потока жидкости), можно добиться увеличения , имеется связь с конструктивными элементами РК.

В процессе эксплуатации ЦН важно знать зависимость между напором насоса и его подачей: . Их аналитическая зависимость может быть получена путем замены с_2u через с_2r и тангенс угла (см. рис. 7). С учетом этого и после несложных преобразований выражение (7) приводится к виду

(8)

С использованием треугольников скоростей на входе и выходе РК и теоремы косинусов имеем:

(9)

где

— прирост кинетической энергии жидкости при прохождении ее через проточную часть РК (динамический напор);

— напор, обусловленный работой центробежной силы жидкости;

—прирост напора насоса за счет преобразования кинетической энергии относительного движения.

Их сумма равна статическому напору .Соотношения напоров: ; ; . Уравнение в форме выражения (9) применимо ко всем лопастным машинам (насосам, вентиляторам, компрессорам и турбинам).

При изменении w РК ЦН будут изменяться и скорости в его выходном сечении, т. е. каждому значению w будет соответствовать свой треугольник скоростей. Причем они, при разных w, будут подобны между собой. С учетом этого, используя уравнение сплошности, одну из форм уравнения напора и формулу для определения теоретической мощности насоса можно получить зависимости от n, т. е. .

При насоса его подача и напор пропорциональны квадрату диаметра РК, а мощность — кубу диаметра РК.

Уравнение (6) получено в предположении: жидкость движется по закону, заданному лопастями РК; сохраняется равномерное распределение скорости потока в любом месте сечения канала РК. Однако в реальных условиях (реальный насос) количество лопастей РК ограничено и имеет конечное число Z. Поэтому траектории частиц жидкости, находящихся в пространстве между лопастями, не совпадают с очертаниями лопасти и не подчиняются вышеуказанному закону.

1 - линии движения частиц жидкости; 2 - относительный вихрь
Рис. 5. Схема движения частиц в межлопастном канале при конечном числе лопастей	Рис. 6. К определению теоретического напора насоса при конечном числе лопастей.

Схема движения частиц жидкости в межлопастном канале РК насоса с Z лопастей приведена на рис. 5. В этом случае в межлопастном канале РК возможен: отрыв потока с тыльной стороны лопасти на ее поверхности, появление вихревых зон пониженного давления, возникновение относительного вихря. Наличие такого вихря приводит к искажению треугольников скоростей на входе в РК и выходе из него. В этих условиях частицы жидкости приобретают дополнительные скорости s₁ и s₂ (рис. 6). Причем характер действия их неодинаков: на входе s₁ совпадает с направлением вращения колеса, на выходе из РК s₂ направлена против его вращения. Их воздействие приводит к неравенствам: .С учетом этого уравнение теоретического напора насоса ( ) при Z лопастей будет:

(10)

Из анализа формул (6) и (10) следует:

Величина К изменяется в пределах 0,6-0,8 [4] и зависит от конструкции лопастей РК Действительный напор насоса с учетом затрат на гидравлические потери в его проточной части будет:

4. Влияние угла ( рабочих лопаток на напор)

Угол — важный конструктивный параметр. С его помощью можно получить .различные значения применительно к ЦМ (насос, вентилятор, компрессор).

Рис. 7. К определению теоретического напора	Рис. 8. К определению теоретического напора

Лопасти РК ЦН разделяются по двум признакам: форме поверхности (цилиндрическая и двоякой кривизны) и величине (загнутые назад при , с радиальным выходом при и загнутые вперед при ). Для выявления влияния на ЦН и определения характера этого влияния рассмотрим три одинаковых по геометрическим размерам РК, имеющие равные G, w и различающиеся конструктивным типом лопасти. При этом соблюдается условие , (условие максимально развиваемого напора).

В основу сравнения положим уравнение (8) (рис. 7).

1. Лопасть загнута назад . , так как из уравнения (8) .

2. Лопасть направлена по радиусу (радиальная) (рис. 8) ( ). При этом , отсюда . РК с радиальными лопастями имеют равенство статического и динамического напоров, т. е. и

3. Лопасть загнута вперед (рис.9) ( ).

При этом , отсюда .

В судовом насосостроении наиболее распространены РК с . Лучшим конструктивным типом с точки зрения большего напора является лопасть, загнутая вперед. У такого РК рост напора происходит за счет увеличения абсолютной скорости на выходе с₂, которую затем необходимо уменьшить до скорости, соответствующей скорости в нагнетательном трубопроводе. Этот процесс протекает с большими потерями энергии из-за возможного отрыва потока и появления вихревых течений. Такие РК широко используются в ЦВ.

Рис. 9. К определению теоретического напора.

Для лопастей РК, загнутых назад, характерны: плавное прохождение жидкости через РК, большее повышение давления в межлопастных каналах РК, меньшие вероятность отрыва потока и гидравлические потери, лучшее регулирование подачи, хорошая согласовка с работой быстроходных приводных двигателей. Такие РК нашли самое широкое применение у судовых насосов.