Электрические колебания в колебательном контуре. Колебательные системы.

1. Свободные затухающие колебания. Колебательным контуром называется цепь, содержащая ёмкость С и индуктивность L. Реальный контур всегда имеет некоторое активное (омическое) сопротивление R (рис.150).

Если зарядить конденсатор, а затем замкнуть ключ Кл, то конденсатор будет разряжаться через катушку L, в цепи контура пойдёт ток i = dqçdt, где q – заряд на конденсаторе. Чтобы определить зависимость тока от времени (или заряда на обкладках конденсатора), полагаем цепь квазистационарной и составим 2-е правило Кирхгофа для контура: iR = U_C + E. Здесь U_C = qçC – напряжение на обкладках конденсатора, E - ЭДС индукция в катушке. При обходе по часовой стрелке на рис.150 получаем:

, или . (21.1)

Знак “минус” перед напряжением на конденсаторе qçC ставится потому, что ход потенциала на конденсаторе при обходе по контуру противоположен ходу потенциала на резисторе. Обозначив RçL = 2p, 1çCL = , а в производных перейдя к точкам, получаем: . (21.2)

Это дифференциальное уравнение затухающих колебаний. Вид его решения зависит от соотношения между коэффициентами n и w₀. Если w₀ > 2n, колебания периодические затухающие, если w₀ < 2n, то колебания апериодические.

а. Периодические затухающие колебания. Будем полагать, что затухание очень слабое, так что w₀ >> 2n. Уравнение (21.2) такое же, как уравнение затухающих колебаний материальной точки. Его подробное решение см.[2], §124, с.с.553-556. Опустив выкладки, запишем приближённое решение уравнения 21.2 для заряда, тока и напряжения.

q = q₀e^-ntcoswt, (21.3)

i = q₀ w e^-ntcos(wt + p/2), (21.4)

. Здесь . (21.5)

Графики q(t), i(t) и u_C(t) показаны на рис.151. При малых затуханиях период колебаний в контуре определяется формулой Томсона, . (21.6)

Декремент затухания . (21.7)

Логарифмический декремент затухания . (21.8)

Величина - волновое сопротивление контура, - добротность. (21.9)

У колебательных контуров среднего качества Q » 20 ¸ 100.

В идеальном контуре, в котором отсутствует затухание, R = 0, колебания должны продолжаться бесконечно долго. При этом максимальная энергия конденсатора , а максимальная энергия поля катушки составляет . Когда конденсатор максимально заряжен, i = 0, , вся энергия колебаний заключена в электрическом поле. Когда конденсатор разряжен, u = 0, а ток максимален. Вся энергия контура заключена в магнитном поле катушки. Средние и максимальные энергии электрического и магнитного полей одинаковы, . Однако колебания в любом реальном контуре даже из сверхпроводящих материалов обязательно затухают. Это происходит потому, что контур с переменным током излучает электромагнитные волны, которые уносят запасённую в нём энергию. В дифференциальном уравнении эти потери не учтены.

б. Апериодические колебания происходят при n > w₀. Если n >> w₀ и в цепи контура нет внешних ЭДС, то колебания представляют собой простой разряд конденсатора на выскоомный резистор. Заряд, напряжение на конденсаторе и ток изменяются в этом случае по экспоненциальному закону (рис.152):

(21.10)

Здесь . Из равенства n = w₀ находим критическое сопротивление контура, разделяющее периодические колебания от апериодических. n = w₀, , Þ . (21.11)

Если сопротивление резистора R больше удвоенного волнового сопротивления r периодические колебания в контуре не возникают.

2. Вынужденные колебания возникают тогда, когда в контуре действует внешняя переменная ЭДС (рис.153). В отличие от подобного случая в цепи переменного тока, рассмотренного в §20, п.7, здесь полагаем, что диапазон частот, генерируемых внешним источником, много шире, а внутреннее сопротивление источника внешней ЭДС много больше.

Если в контуре действует периодическая ЭДС E =E_acosWt, то уравнение колебаний электрического заряда на обкладках конденсатора принимает вид: . (21.12)

Здесь те же обозначения: 2n = RçL, .

Решение этого уравнения состоит из двух членов и при n << w₀ имеет вид: q = q₀e^-ntcoswt + Bcos(Wt - j). (21.13)

Первый член описывает собственные затухающие колебания в контуре, рассмотренные в предыдущем пункте. Спустя некоторое время (не более нескольких секунд). Эти колебания практически исчезают. Остаётся лишь вторая часть, описывающие вынужденные колебания q = Bcos(Wt - j). (21.14)

Здесь B – амплитуда вынужденных колебаний, j - угол сдвига по фазе по отношению к собственным колебаниям. , . (21.15)

Дифференцируя (21.14) по времени, получаем ток в контуре.

i = = - BWsin(Wt - j) = BWcos(Wt - j + pç2). (21.16)

Величина ВW = i_a есть амплитудный ток. Он зависит от соотношения частот w₀ и W. Если частота W изменения внешней ЭДС приближается к частоте w₀ собственных затухающих колебаний, то ток в контуре возрастает до некоторого максимального значения, называемого резонансным. . (21.17)

Рассмотренная ситуация соответствует резонансу напряжений в цепи переменного тока, а формула амплитудного тока (21.17) в общем виде соответствует закону Ома для цепи переменного тока. Так как , n = R / 2L, то

. (21.18)

На рис.154 показаны амплитудные резонансные кривые – графики зависимости амплитудного тока i_a от частоты W внешней ЭДС. Чем больше добротность контура Q = rçR, тем уже его резонансная кривая, тем выше его избирательность (селективность). Поэтому с увеличением добротности Q ширина вынуждающих частот ±(W - w₀), при которых в контуре раскачиваются значительные токи, становится уже. Этот интервал частот, близких к w₀, называется полосой пропускания контура. Сюда входят частоты от W₁ до W₂, где W₁ и W₂ – частоты, при которых энергия колебания в 2 раза меньше энергии колебаний в резонансе. Можно показать, что DW = 2n.

Действительно, энергия амплитудного тока в резонансе

. (21.19)

Если при некоторой частоте W, энергия амплитудного тока в 2 раза меньше, то есть

, (21.20)

то отсюда найдётся W₁. Чтобы равенство (21.20) выполнялось, должно быть

, или . (21.21)

Решение этого квадратного уравнения: . (21.22)

По условию, принятому вначале, затухание очень слабое, (Rç2L)² << (1çLC). Поэтому первым слагаемым под корнем можно пренебречь. W₁ = - n ± w₀. (21.23)

Значение W₁ = - n - w₀ < 0 и не имеет физического смысла. Остаётся W₁ = w₀ - n. (21.24)

Полуширина полосы пропускания , (21.25)

а ширина полосы пропускания в 2 раза больше . (21.26)

3. Искровой колебательный контур. Реализовать гармоническую ЭДС частотой в тысячи и миллионы герц путём вращения рамки в магнитном поле практически невозможно. Поэтому для возбуждения в колебательном контуре незатухающих колебаний высокой частоты используются другие способы.

Исторически первым шагом в этом направлении следует рассматривать искровой колебательный контур, которой изобрёл в 1888 г. немецкий физик Генрих Герц (рис.155).

После включения источника постоянного напряжения конденсатор через дроссельные катушки заряжается, и напряжение между его обкладками увеличивается. Когда оно достигает значения напряжения пробоя, через разрядник проскакивает искра, замыкающая колебательный контур, и в контуре возникает цуг затухающих колебаний. Он обрывается, когда напряжение на искровом разряднике упадёт до напряжения гашения искры. Затем конденсатор снова заряжается, и всё повторяется в той же последовательности (рис.156).

Колебания, получаемые Герцем, имели частоту порядка 5×10⁸ Гц, что соответствует длине излучаемых его вибратором электромагнитных волн l » 60 см.

В 1891 г. серб Никола Тесла изобрёл высокочастотный трансформатор, т.н. трансформатор Тесла, позволяющий получать колебания с частотой до 10⁵ Гц напряжением до 7×10⁶ В. В качестве первичного контура в трансформаторе Тесла используется искровой генератор высокочастотных колебаний. В начале развития радиотехники трансформатор Тесла применялся на радиостанциях в качестве источника ВЧ колебаний, в настоящее время – в учебной практике в демонстрационных экспериментах.

Искровой колебательный контур представляет собой автоколебательную систему. Один из главных недостатков его в том, что энергия вводится слишком редко, раз в течение одного цуга, точнее – между цугами. Поэтому трудно обеспечить стабильность амплитуды ВЧ колебаний.

Наибольшее распространение получили автоколебательные генераторы незатухающих колебаний на основе ламповых триодов и, позднее, полупроводниковых транзисторов.

4. Генератор ВЧ колебаний на ламповом триоде. В 1907 г. американец Ли де Форест изобретает важнейший радиотехнический элемент первой половины XX века – электронную лампу с тремя электродами – триод. Анод и катод в триоде разделены между собой третьим электродом – сеткой.

На рис.157 показана схема простейшего лампового генератора на триоде, позволяющего получать незатухающие ВЧ колебания.

Вследствие тепловых флуктуаций электронов контуре C–L₁ самопроизвольно возникают слабые колебания. Но изменение напряжения на обкладках конденсатора С вызывает изменение потенциала сетки S триода. При положительном потенциале верхней (по рисунку) пластины конденсатора триод открывается, в анодной цепи течёт ток, который через индуктивную связь между катушками L₁ и L₂ усиливает ток в контуре.

Когда конденсатор перезарядится в обратном направлении, лампа заперта, через катушку L₂ тока нет. Затем весь процесс повторяется. Таким образом, ток в анодной цепи течёт лишь в те моменты времени, когда лампа открыта, и когда магнитное поле катушки L₂ подпитывает ток в контуре.

Управление электронной лампой с помощью цепи обратной связи может осуществляться разными способами. Наряду с рассмотренной индуктивной связью часто применяется также ёмкостная и автотрансформаторная обратная связь.

5. Генератор на транзисторе типа р – n – p c индуктивной обратной связью (рис.158). При отсутствии колебаний ток эмиттера очень мал, а напряжение на эмиттерном p – n переходе близко к нулю, поскольку почти всё падение напряжения приходится на обратный n – p переход. Если в колебательном контуре возникли флуктуационные колебания, то в катушке L_Б индуцируется периодическая ЭДС, которая создаёт пульсирующий ток в цепи эмиттер – база. Это приводит к увеличению коллекторного тока, который, проходя по катушке L, увеличивает амплитуду колебаний тока в контуре.

Когда конденсатор С разряжается в обратном направлении, ЭДС в катушке L_Б запирает эмиттерный ток, что приводит к уменьшению коллекторного тока. Поэтому обратная перезарядка конденсатора происходит беспрепятственно при минимальном токе коллектора.

Модификаций схем генераторов на транзисторах очень много.

6. Токи высокой частоты, ТВЧ. С помощью генераторов электрических колебаний можно вырабатывать почти синусоидальные переменные токи частотой в тысячи и миллионы герц. Благодаря вытеснению быстропеременных токов к периферии проводника вследствие скин-эффекта (см. след. параграф), оказывается возможным с помощью ТВЧ закаливать поверхность стальных деталей, не уменьшая их пластичности в глубине. Использование токов частотой в сотни и тысячи герц эффективно при индукционном нагреве металлов в плавильных индукционных электропечах, поскольку вихревые токи Фуки увеличиваются с ростом частоты электромагнитного поля.

ТВЧ широко используются при высокочастотной сварке и в многоканальной телефонной связи.

7. Релаксационный генератор. Наряду с генераторами почти синусоидальных колебаний, рассмотренными выше, в практике широко используются устройства, создающие периодические, но далеко не гармонические колебания, напр., пилообразные, П – образные и др. Рассмотрим генератор пилообразных колебаний на неоновой лампе (рис.159).

Конденсатор С, параллельно которому присоединена неоновая лампа НЛ, через резистор R с большим сопротивлением заряжается от источника постоянного тока ИТ, в результате напряжение на обкладках повышается. Когда напряжение на конденсаторе С достигает напряжения зажигания U_з, в лампе возникает газовый разряд, и конденсатор начинает быстро разряжаться. Когда напряжение на конденсаторе подает до напряжения гашения в лампе U_г, разряд в лампе обрывается, и конденсатор вновь начинает заряжаться. Возникают так называемые релаксационные колебания (рис.160).

Найдём период колебаний. В процессе заряда конденсатора 2-е правило Кирхгофа имеет вид iR + u = E, или . (21.27)

Здесь u – напряжение на конденсаторе, E - ЭДС источника тока. Перейдём к переменной u. Так как q = Cu, то , и . (21.28)

Если обозначить u - E = U, то и получаем уравнение с разделяющимися переменными: . Отсюда , . (21.29, 30)

Постоянную интегрирования U₀ найдём из начального условия: напряжение на конденсаторе в начале заряда равно нулю, u = 0. Тогда U₀ = U -E (t = 0) = 0 - E = - E, U = -E exp(-tçCR). Вернувшись к прежней переменной, получаем:

u = U +E = E (1 – exp(-tçCR)). (21.31)

Если пренебречь временем разряда конденсатора по сравнению с его временем заряда, то период колебаний можно найти как время заряда конденсатора от u_Г до u_З. Пусть заряда до напряжения u_Г достигается к моменту времени t₁, а заряд напряжения u_З – к моменту времени t₂. Так как u_Г = E (1 – exp(-t₁çCR)), u_З= E (1 – exp(-t₂çCR), то выразив из этих уравнений моменты t₁ и t₂ и найдя их разность, получаем период релаксационных колебаний. . (21.32)