Действие магнитного поля на токи и движущиеся заряды

1.Прямолинейный ток в однородном магнитном поле. Как уже говорилось в §13, на элемент тока Idl, в однородном магнитном поле с индукцией B действует сил Ампера . Если элемент тока имеет постоянную величину Il, а магнитное поле в пределах его однородно, то сила Ампера принимает вид (рис.90): . (14.1)

2.Замкнутый контур с током в однородном магнитном поле. Найдём силы, действующие на прямоугольную рамку с током (рис.91). Полагаем, что по рамке в направлении стрелок течёт постоянный ток I.

Силы F₂ и F₄, приложенные к элементам тока Il₂ и Il₄, действуют в плоскости рамки в разные стороны, то есть просто растягивают рамку. Силы F₁и F₃ образуют пару сил. Как известно из механики, крутящий момент пары равен векторному произведению отрезка l, проведённого из точки приложения одной силы F₂ в точку приложения к другой F₁, на силу F₁.

Если в нашем случае в качестве такого отрезка взять сторону рамки l₄, то момент пары . (14.2)

Но сила . Отсюда . В круглых скобках заключены скалярные произведения векторов. Так как рамка имеет по условию прямоугольную форму, то l₁^ l₄. Поэтому второе слагаемое равно нулю, . По определению скалярного произведения . . (14.3)

Если ввести единичный вектор нормали n, ориентированный по току рамки правилом правого винта, то .

Вектор представим как произведение его модуля l₁ на единичный вектор , . Приняв во внимание, что - площадь рамки, получаем:

. (14.4)

Здесь - магнитный момент рамки с током.

В полученной формуле нет геометрии рамки. Поэтому выражение (14.4) применимо к рамкам с током любой формы. Необходимым условием для определения момента M является значение магнитного момента p_m и его ориентации относительно поля B.

Рамка с током в магнитном поле испытывает действие вращающего момента подобно диполю в электрическом поле, для которого . Контур с током стремится повернуться во внешнем поле так, чтобы его магнитный момент совпадал по направлению с внешним полем B. Поэтому поле вблизи оси контура усиливается, .

Поле контура вне его на достаточно большом удалении от оси практически незаметно и потому не ослабляет внешнего поля (рис.92).

Если вносить в магнитное поле систему свободно ориентирующихся в пространстве контурных токов, то вследствие их единой ориентации по внешнему полю это поле усиливается.

Для сравнения: электрическое поле в диэлектриках ослабляется по сравнению с вакуумом.

По аналогии с электрическим диполем рамку с током называют часто магнитным диполем.

Если магнитный момент p_m рамки с током сонаправлен с внешним полем, p_m­­B, вращающий момент M равен нулю, а силы Ампера стремятся растянуть рамку. Если p_m­¯B, то силы Ампера стремятся сжать рамку.

3.Замкнутый контур с током в неоднородном магнитном поле. Рассмотрим круговой виток с током в неоднородном магнитном поле, когда p_m­­B, а поле B симметрично относительно оси витка.

Пусть ОХ - ось витка. Будем полагать, что внешнее магнитное поле усиливается вдоль оси ОХ, его линии B сближаются (рис.93).

На любой элемент тока Idl действует сила Ампера . Эта сила перпендикулярна вектору B и может быть разложена на две составляющие: dF_R, параллельную плоскости рамки и растягивающую её (или сжимающую, когда p_m­¯B,) и dF_n, нормальную плоскости рамки. Эта сила втягивает рамку в поле большей индукции (p_m­­B) или выталкивает её (p_m­¯B).

Угол между элементом тока Idl и вектором B во всех точках контура равен 90°. Поэтому dF = Idl×B, а dF_n = dFsinb×n = IBsinb×n×dl.

Здесь n- единичный вектор нормали площадки контура, он совпадает по направлению с вектором магнитного момента, n­­ p_m.

Сила F_n, действующая вдоль оси OX на весь контур, найдётся интегрированием.

. (14.5)

Здесь p_m = IpR²×n - магнитный момент контура.

Угол b - промежуточный параметр. Он определятся скоростью изменения индукции B вдоль оси ОХ. Исключим его. Из условия неразрывности линий магнитной индукции B, когда , для двух сечений, расположенных на расстоянии dx друг от друга (рис.94), получаем: . (14.6)

Раскрываем скобки: .

Пренебрегаем величинами 2 и 3 порядков малости. Тогда (14.7)

Подставляем в формулу (14.5) вместо 2BçR выражение (14.7), приняв во внимание, что dRçdx = tgb. . (14.8)

Здесь B_n = Bcosb - проекция вектора индукции на ось контура ОХ, иначе, нормальная к контуру составляющая вектора B.

Итак, на рамку с током в однородном магнитном поле действует только вращающий момент M, стремящийся развернуть рамку в устойчивое положение, когда p_m­­B.

На рамку с током в неоднородном магнитном поле кроме вращающего момента M действует ещё сила вдоль линий поля. Направление силы зависит от взаимной ориентации векторов B и p_m. Если p_m­­B или, по крайней мере, угол p_mB <pç2, рамка втягивается в поле более высокой напряжённости. Если угол p_mB >pç2, рамка выталкивается из поля.

Когда речь идёт об атомных токах, то в статистике, если бы атомные токи были жёстко ориентированы в пространстве, втягивающие силы уравновешивались бы выталкивающими. Но поскольку каждый атомный ток испытывает ещё действие вращающего момента M, стремящегося развернуть атом в положение, когда p_m­­B, то втягивающая сила преобладает над выталкивающей. Поэтому тела, у которых магнитные моменты атомов не равны нулю, p_m ¹ 0(парамагнетики), всегда втягиваются в область поля с более высокой индукцией.

Чем быстрее изменяется поле, тем больше величина dBçdx, тем больше втягивающая или выталкивающая сила.

4.Действие магнитного поля на движущийся электрический заряд. Поскольку магнитное поле действует только на проводник с током, логично заключить, что действие магнитного поля на проводник обусловлено действием поля на движущиеся заряды. Найдём силу действия магнитного поля на движущийся заряд.

Ток в проводнике I = jS = envS, где e - величина движущегося заряда, n - концентрация зарядов, v - средняя скорость их дрейфа.

Сила Ампера действия магнитного поля на ток . (14.9)

Здесь l - вектор длины отрезка проводника, направленный по току, S - сечение проводника (рис.95). Вектор l совпадает по направлению с вектором скорости и дрейфа положительных зарядов. Поэтому в формуле (14.9) величины l и v можно поменять местами. . (14.10)

Произведение nlS = N представляет собой число зарядов в объёме проводника. Разделив силу Ампера на число N движущихся в проводнике зарядов, получаем силу действия магнитного поля на отдельный движущийся заряд. . Сила Лоренца (14.11)

Формулу (14.11) получил в 90-х годах XIX в. Хендрик Лоренц в рамках классической электронной теории проводимости металлов.

Если в пространстве кроме магнитного поля есть ещё и электрическое, то на движущийся заряд e действуют две силы. . (14.12)

Сила Лоренца (14.11) всегда направлена по нормали к скорости v. Поэтому она изменяет скорость движения частицы только по направлению, но не по величине. Поэтому и кинетическая энергия заряженной частицы, движущейся со скоростью v << c в магнитном поле постоянной индукции B, остаётся практически неизменной.

Сила Лоренца не совершает работы, поэтому её относят к группе гироскопических сил.

5.Движение заряженной частицы в магнитном поле, когда v^ B.Пусть положительно заряженная частица с зарядом e влетает в однородное магнитное поле перпендикулярно его силовым линиям, т.е. v^ B. Из формулы (14.11) следует, что f^ B. Ускорение частицы, вызываемое силой Лоренца, также перпендикулярно B. Поэтому движение частицы происходит по окружности в плоскости, перпендикулярной B (рис.96).

Радиус окружности R найдётся из условия: , . (14.13)

Величина радиуса тем больше, чем больше импульс частицы mv и чем меньше индукция поля B.

Движение заряженных частиц в магнитных полях теоретически исследовал в 1895 г. Джозеф Лармор. Поэтому окружность, по которой движется заряженная частица в магнитном поле, называют часто ларморовской окружностью.

Зная радиус ларморовской окружности, описываемой частицей, можно найти период обращения частицы.

. (14.14)

Период T ларморовского вращения заряженных частиц в магнитном поле не зависит от скорости их движения (иначе, от кинетической энергии), а определяется лишь индукцией магнитного поля B и удельным зарядом частиц eçm. Это обстоятельство играет важную роль в практике создания ускорителей заряженных частиц. Частота называется циклотронной частотой вращения. (14.15)

6.Движение заряженной частицы в магнитном поле, когда скорость v не перпендикулярна B. Если частица влетает в магнитное поле так, что её скорость v образует с вектором Bугол, не равный 90°, то траекторией движения частицы является винтовая линия (рис.97).

Составляющая скорости v_n, перпендикулярная линиям B, закручивает частицу по окружности радиуса R = mv_nçeB. Касательная составляющая v_B, параллельная линиям B,смещает частицу вдоль поля. Поэтому траектория частицы как бы навивается на линии магнитного поля. Шаг винтовой линии . (14.16)

Если угол между векторами v и B равен a, то v_B = v×cosa , v_n = v×sina.

В 1950 г. Игорь Тамм и Андрей Сахаров предложили использовать кольцевое поле в тороиде для удержания плазмы от размывания.

Плазмой называют газ из электрически заряженных частиц. В холодной плазме (температура не более 2×10⁴ K) такими частицами являются электроны, ядра атомов и ионизированные атомы. В горячей плазме (T ³ 2×10⁴ K) присутствуют только электроны и ядра. Необходимость сохранять в течение какого-то времени в замкнутом пространстве столь горячее вещество появилась при решении проблемы управляемого термоядерного синтеза.

Запускаемые под углом к оси тороида с магнитным полем заряженные частицы движутся по траекториям, которые навиваются на замкнутые силовые линии поля в тороиде (рис.98). В результате плазма в течение какого-то времени удерживается от размывания и от охлаждения.

7.Зеркальные магнитные ловушки. В 1952 г. Герш Будкер и Ричард Пост предложили для удержания плазмы зеркальную магнитную ловушку. Она представляет собой осесимметричное магнитное поле, образованное двумя однонаправленными кольцевыми токами 1 и 2 с общей осью (рис.99). Области максимальной индукции магнитного поля, находящиеся в плоскостях этих кольцевых токов, называются магнитными пробками.

При движении частицы в область более сильного поля скорость движения её по окружности v_n увеличивается, а скорость смещения её вдоль линий поля v_B уменьшается. В какой-то точке поля составляющая v_B обращается в нуль. Здесь происходит отражение частицы от магнитного зеркала. В результате частица дрейфует от одной пробки к другой.

8.Радиационные пояса Земли. Примером ловушки зеркального типа является магнитное поле Земли с магнитными пробками на полюсах (рис.100).

Частицы солнечного ветра – протоны и электроны – попадая в магнитное поле Земли, удерживаются им и образуют радиационные пояса. Большая доля частиц движутся как бы навиваясь под действием силы Лоренца на магнитные силовые линии Земли, дрейфуя от одного полюса до другого. В близи полюсов происходит их отражение (5 на рис.100).

Расстояние от полюса до полюса частица проходит за время примерно 0,3 c. Протон в такой геомагнитной ловушке может удерживаться до 100 лет.

В поясах существует динамическое равновесие. Внутри поясов частицы уходят из-за торможения, а их убыль компенсируется частицами, приходящими из космоса.

Радиационные пояса Земли были открыты в 1958 г. с помощью искусственных спутников Земли. Оказалось, что существуют два электронных пояса и одни протонный, в значительной степени перекрывающиеся между собой. Внутренний электронный 1 и протонный 2 начинаются примерно на одной высоте 1000 км над поверхностью Земли. Максимум концентрации протонного пояса 2 удалён от центра Земли примерно на три земных радиуса 3R. Энергия протонов меняется от 40 МэВна внутренней границе пояса до 0,5 МэВна внешней.

Максимум концентрации внутреннего электронного пояса 1 удалён от центра Земли на 1,5 МэВ, а максимум концентрации внешнего электронного пояса 3 – на 5R (рис.100).