Несобственные интегралы

Определенный интеграл как предел интегральной суммы

может существовать (т.е. иметь определенное конечное значение) только если

1) отрезок интегрирования [a; b] конечный;

2) подынтегральная функция непрерывная (или хотя бы кусочно-непрерывная) и, следовательно, ограниченная на этом отрезке.

Если хотя бы одно из этих условий нарушено, то определение теряет смысл. Действительно, в случае бесконечного отрезка, например [a; ¥) его нельзя разбить на п частей конечной длины , которая к тому же с увеличением количества отрезков стремилась бы к нулю. В случае же неограниченной в некоторой точке сÎ[a; b] нарушается требование произвольного выбора точки на частичных отрезках – нельзя выбрать =с, поскольку значение функции в этой точке не определено. Однако и для этих случаев можно обобщить понятие определенного интеграла, введя еще один предельный переход. Интегралы по бесконечным промежуткам и от разрывных (неограниченных) функций называют несобственными.

Определение 20.2.

Пусть функция определена на промежутке [a; ¥) и интегрируема на любом конечном отрезке [a; b], т.е. существует для любого b > a. Предел вида называют несобственным интеграломпервого рода (или несобственным интегралом по бесконечному промежутку) и обозначают .

Таким образом, по определению, = .

Если предел справа существует и конечен, то несобственный интеграл называют сходящимся. Если этот предел бесконечен, или не существует вообще, то говорят, что несобственный интеграл расходится.

Аналогично можно ввести понятие несобственного интеграла от функции по промежутку (–¥; b]:

= .

А несобственный интеграл от функции по промежутку (–¥; +¥) определяется как сумма введенных интегралов:

= + ,

где а – произвольная точка. Этот интеграл сходится, если сходятся оба слагаемых, и расходится, если расходится хотя бы одно из слагаемых.

С геометрической точки зрения, интеграл , , определяет численное значение площади бесконечной криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции , слева – прямой , снизу – осью ОХ. Сходимость интеграла означает существование конечной площади такой трапеции и равенство ее пределу площади криволинейной трапеции с подвижной правой стенкой .

.

Пример

–

интеграл сходится и равен .

На случай интеграла с бесконечным пределом можно обобщить и формулу Ньютона-Лейбница:

= = F(+¥) – F(a),

если под F(+¥) понимать . Если этот предел существует, то интеграл сходится, в противном случае – расходится.

Мы рассмотрели обобщение понятия определенного интеграла на случай бесконечного промежутка.

Рассмотрим теперь обобщение для случая неограниченной функции.

Определение 20.3

Пусть функция определена на промежутке [a; b), неограниченна в некоторой окрестности точки b, и непрерывна на любом отрезке , где e>0 (и, следовательно, интегрируема на этом отрезке, т.е. Ошибка! Ошибка связи. существует). Предел вида называется несобственным интегралом второго рода (или несобственным интегралом от неограниченной функции) и обозначается .

Таким образом, несобственный интеграл от неограниченной в точке b функции есть по определению

= .

Если предел справа существует и конечен, то интеграл называется сходящимся. Если конечного предела не существует, то несобственный интеграл называется расходящимся.

Аналогично можно определить несобственный интеграл от функции , имеющей бесконечный разрыв в точке а:

= .

Если функция имеет бесконечный разрыв во внутренней точке сÎ , то несобственный интеграл определяется следующим образом

= + = + .

Этот интеграл сходится, если сходятся оба слагаемых, и расходится, если расходится хотя бы одно слагаемое.

С геометрической точки зрения, несобственный интеграл от неограниченной функции также характеризует площадь неограниченной криволинейной трапеции:

Пример

а при п =1 имеем

.

Таким образом, данный интеграл сходится при п<1, и расходится при п³1.

Отметим, что поскольку несобственный интеграл определяется из определенного интеграла путем предельного перехода, то все свойства определенного интеграла могут быть перенесены (с соответствующими уточнениями) на несобственные интеграла первого и второго рода.

Рассмотрим примеры вычисления несобственных интегралов.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

Во многих задачах, приводящих к несобственным интегралам, не обязательно знать, чему равен этот интеграл, достаточно лишь убедиться в его сходимости или расходимости. Для этого используют признаки сходимости. Признаки сходимости несобственных интегралов:

1) Признак сравнения.

Пусть для всех хÎ . Тогда, если сходится, то сходится и , причем £ . Если расходится, то расходится и .

2) Если сходится , то сходится и (последний интеграл в этом случае называется абсолютно сходящимся).

Признаки сходимости и расходимости несобственных интегралов от неограниченных функций аналогичны сформулированным выше.