Лекция 7. Поверхностные интегралы.
Задача о массе поверхности.
Задача о массе поверхности приводит нас к поверхностному интегралу 1 рода, точно так же, как задача о массе кривой привела нас к криволинейному интегралу первого рода.
Пусть в каждой точке кусочно-гладкой поверхности s задана поверхностная плотность f(x, y, z).
1. Введем разбиение s на элементарные области Dsi – элементы разбиения так, чтобы они не имели общих внутренних точек ( условие А).
2. Отметим точки Mi на элементах разбиения Dsi. Вычисляем f (Mi) = f (xi, yi, zi) и считаем плотность постоянной и равной f (Mi) на всем элементе разбиения Dsi..Приближенно вычислим массу ячейки разбиения как f (Mi) Dsi . Приближенно вычислим массу поверхности s, просуммировав массы ячеек (составим интегральную сумму) . В интегральной сумме - это площадь поверхности элементарной ячейки. Здесь, как и ранее, традиционно употребляется одно и то же обозначение для самой элементарной ячейки и для ее площади.
3. Измельчаем разбиение и переходим к пределу в интегральной сумме при условии (условие B). Получаем поверхностный интеграл первого рода, который равен массе поверхности (если только f(Mi)>0 на поверхности).
= .
Теорема существования. Пусть функция непрерывна на кусочно-гладкой ограниченной поверхности . Тогда поверхностный интеграл первого рода существует как предел интегральных сумм.
= .
Замечание. Интеграл (как предел интегральных сумм) не зависит:
1) от выбора разбиения поверхности (лишь бы выполнялось условие А),
2) от выбора отмеченных точек на элементах разбиения,
3) от способа измельчения разбиения (лишь бы выполнялось условие В).
Дата добавления: 2017-11-21; просмотров: 968;