Интегрирование по частям и замена переменной в определенном интеграле

Поскольку вычисление определенного интеграла с помощью формулы Ньютона-Лейбница свелось к отысканию первообразной (неопределенного интеграла), то естественно перенести на случай определенного интеграла и все приемы нахождения неопределенного интеграла.

Например, непосредственное интегрирование:

а)

= .

б) .

Метод интегрирования по частям в определенном интеграле основан на формуле

.

Выводится эта формула так же, как и соответствующая формула в неопределенном интеграле.

Рассмотрим пример ее применения:

= .

Метод замены переменной в определенном интеграле имеет некоторые отличия от соответствующего метода в неопределенном.

Пусть требуется вычислить , где f(x) непрерывная на [a, b] функция. Сделаем подстановку х = j(t), полагая при этом, что:

1) j(t) и j¢(t) непрерывны на некотором отрезке [a; b];

2) j(a) = а, j(b) = b;

3) f(j(t)) определена и непрерывна на [a; b].

Тогда

.

Таким образом, правило замены переменных в определенном интеграле таково:

1. Выбрать замену х = j(t) (или t = y(x)).

2. Преобразовать подынтегральное выражение f(x)dx с помощью этой замены к виду g(t)dt .

3. Найти новые пределы интегрирования a и b из условия j(a) = а, j(b) = b (или, соответственно, a = y(а), b = y(b) ).

4. Вычислить = .

Отличие он замены переменной в неопределенном интеграле состоит в том, что получив искомую первообразную, не нужно возвращаться к старой переменной. Заметим при этом, что в процессе замены переменной интегрирования обязательно меняются пределы интегрирования.

Рассмотрим пример.

Заметим, что с геометрической точки зрения, этот интеграл численно равен площади четверти круга с центром в начале координат и радиусом R , т.к. линия есть четверть соответствующей окружности, расположенная в первой координатной четверти (рис.5). Тогда площадь полного круга равна pR² – т.е. мы доказали с помощью определенного интеграла известную формулу площади круга.

Замечание. Функции-замены обязательно должны быть непрерывны на соответствующем промежутке. Например, для вычисления интеграла подстановку применить можно, так как на отрезке эта функция непрерывна, а для вычисления интеграла – такую подстановку применить нельзя, т.к. в точке х = p функция имеет бесконечный разрыв.

С помощью замены переменных можно доказать следующие важные свойства определенного интеграла:

1) Если f(x) четная функция, то .

Например,

2) Если f(x) нечетная функция, то . Например, , т.к. функция – нечетная.

3) Если f(x) периодическая функция с периодом Т, то "а.

Докажем эти свойства. 1) Пусть f(x) = f(–x). Тогда

=

.

2) Пусть f(–x) = –f(x). Тогда

=

3) Пусть f(x+Т) = f(x). Можно записать

.

Рассмотрим . Тогда предыдущее равенство будет иметь вид