Интегрирование линейных неоднородных дифференциальных уравнений

Интегрирование линейных однородных дифференциальных уравнений.

Пусть в линейном однородном дифференциальном уравнении

коэффициенты – постоянные числа. Для таких уравнений доказано, что частные решения , , составляющие фундаментальную систему решений, следует искать в виде , где – корень характеристического уравнения.

Определение 1

Характеристическим уравнением линейного однородного дифференциального уравнения называется алгебраическое уравнение второй степени

. (1)

Характеристическое уравнение линейного дифференциального уравнения второго порядка есть квадратное уравнение, для составления которого достаточно в дифференциальном уравнении заменить на , – на , а заменить на 1.

Как известно, при решении квадратного уравнения возможны три случая:

· корни этого уравнения действительные и различные: ;

· корни действительные и равные: ;

· корни есть комплексно-сопряженные числа: , .

Структура фундаментальной системы решений { , }, а вместе с ней и общего решения дифференциального уравнения (1), зависит от вида корней характеристического уравнения. Эта зависимость отражена ниже в таблице 1.

Таблица 1

Корни характеристического уравнения	Фундаментальная система решений	Вид общего решения
I. Действительные различные
II. Действительные равные
III. Комплексно- сопряженные

Предлагаем следующий порядок решения линейного однородного дифференциального уравнения:

1) Составить характеристическое уравнение для заданного дифференциального уравнения и найти его корни.

2) Записать функции , , составляющие фундаментальную систему решений.

3) Записать общее решение .

Для записи функций ФСР и общего решения используйте таблицу 3.

Пример 1.Решить дифференциальное уравнение .

Решение

Будем придерживаться сформулированного алгоритма.

1) Составим характеристическое уравнение для данного линейного дифференциального уравнения. Для этого в уравнении заменим и соответственно на и 1, получим

.

Найдем корни этого уравнения*):

,

.

2) Полученные корни , действительные и различные, следовательно, имеем случай I таблицы 1, поэтому фундаментальную систему решений образуют функции

, .

3) Тогда общим решением заданного дифференциального уравнения является функция

.

Ответ:

Пример 2Найти решение уравнения , удовлетворяющее условиям , .

Решение

Согласно правилу решения задачи Коши вначале найдем общее решение данного уравнения.

1) Составим и решим характеристическое уравнение:

, .

2) Корни характеристического уравнения действительные и равные (случай IIтаблицы 1), следовательно, фундаментальную систему решений образуют функции

, .

3) Тогда общее решение заданного дифференциального уравнения имеет вид

.

Теперь найдем искомое частное решение. Для этого нужно найти значения постоянных и Чтобы определить эти значения, найдем производную функции :

,

и подставим заданные начальные условия , в равенства

Получим систему уравнений относительно неизвестных и :

Þ

Решив эту систему, найдем значения и :

Þ Þ

Подставим найденные значения в общее решение , получим искомое частное решение:

.

Ответ:

Пример 3 Решить дифференциальное уравнение .

Решение

Характеристическое уравнение для данного дифференциального уравнения имеет вид

.

Решим это уравнение:

.

Получили комплексно-сопряженные корни (случай III таблицы 1), где . Значит, фундаментальная система решений состоит из функций

, .

Тогда общее решение данного дифференциального уравнения имеет вид

.

Ответ: .

Замечание. Для линейных однородных дифференциальных уравнений

порядка выше двух ( ) общее решение, аналогично уравнению второго порядка, представляет собой линейную комбинацию фундаментальной системы решений этого уравнения:

.

Функции *) фундаментальной системы решений также можно найти с помощью корней характеристического уравнения, которое для уравнения п-го порядка имеет вид

.

Пример 4 Решить дифференциальное уравнение

.

Решение

Запишем характеристическое уравнение:

.

Чтобы найти корни этого уравнения, разложим на множители его левую часть, используя способ группировки и вынесения общего множителя:

, ,

.

Приравнивая к нулю каждый из множителей, получаем:

1) Þ ;

2) – это уравнение действительных корней не имеет, поскольку .

Но так как всякое алгебраическое уравнение имеет столько корней, какова его степень (в общем случае комплексных), то уравнение имеет два комплексных корня. Найдем их

Þ Þ .

Итак, характеристическое уравнение имеет три корня:

.

Запишем фундаментальную систему решений заданного дифференциального уравнения. Действительному корню в фундаментальной системе соответствует функция–решение . Паре комплексно-сопряженных корней соответствуют два действительных решения

, .

Следовательно, общее решение заданного дифференциального уравнения имеет вид

.

Ответ: .

Пример 5 Решить дифференциальное уравнение .

Решение

Характеристическое уравнение , или имеет корни . Тогда фундаментальную систему решений образуют функции-решения

.

Значит, общее решение данного дифференциального уравнения имеет вид

.

Ответ:

Интегрирование линейных неоднородных дифференциальных уравнений

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка

(3.6),

где – действительные числа, непрерывная на некотором интервале функция.

Согласно теореме 3.3 о структуре общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения, общее решение уравнения (3.6) можно найти в виде , где –общее решение соответствующего однородного уравнения, а – какое-либо частное решение уравнения (3.6).

Отыскание общего решения линейного однородного дифференциального уравнения рассмотрено в предыдущем пункте. Следовательно, остается решить вопрос нахождения какого-либо частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения.

Для линейных неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами в случае, когда правая часть – функция – имеет так называемый «специальный вид» (таблица 4), можно применить метод подбора частного решения. Суть метода заключается в следующем: по виду функции и корням характеристического уравнения подбирается вид функции с неопределенными коэффициентами, которые затем определяются в результате подстановки в заданное уравнение исходя из условия, что удовлетворяет уравнению (3.6) .

На практике для подбора функции можно использовать таблицу 2.

Рассмотрим примеры решения линейных неоднородных уравнений, придерживаясь алгоритма, сформулированного на странице 51.

Пример 6 Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Решение. Данное уравнение есть линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка. Согласно теореме 3.3, общее решение этого уравнения будем искать в виде

,

где – общее решение соответствующего однородного уравнения, а – какое-либо частное решение заданного уравнения.

1) Найдём решение . Для этого составим и решим линейное однородное дифференциальное уравнение, соответствующее данному:

.

Характеристическое уравнение , или , имеет корни , . Поэтому (согласно правилу, сформулированному на странице 53, таблица 3) общее решение имеет вид

, или .

2) Найдем частное решение исходного дифференциального уравнения.

Функцию подберем по виду правой части данного дифференциального уравнения и корням соответствующего характеристического уравнения, ориентируясь на таблицу 4.

Таблица 4

Вид правой части	Корни характеристического уравнения	Вид частного решения
I. , – многочлен степени т, а, b,…,c, d – известные числа	а) Число 0 неявляется корнем характе­ристического уравнения	.
б) Число 0 – корень характе­ристи­че­ского уравнения кратности r
II. , – многочлен степени т, α, а, b,…,c, d – известные числа.	а) Число aне является корнем характеристиче­ского уравнения	.
б) Число a – кореньхарак­теристи­че­ского уравнения кратности r	.
III. , а, b, β– известные числа.	а) Числа не являются корнями характеристиче­ского уравнения,	.
б) Числа – корни характери­сти­че­ского уравнения кратности r	.
IV. Рт(х) и Qп(x) – многочлены степени т и п соответ­ствен­но	а) Числа не являются кор­ня­ми характеристиче­ского уравнения	, .
б) Числа – корнихарак­те­ристиче­ского уравнения кратности r	, .
Здесь А, В, С, D – неизвестные буквенные коэффициенты, , – многочлены степени s с буквенными коэффициентами.

Правая часть уравнения – функция – есть функция вида , где – многочлен первой степени. Так как число является корнем характеристического уравнения кратности , то имеем случай I,б) таблицы 4. Значит, частное решение будем искать в виде

.

Неопределенные коэффициенты А и В найдем из условия, что функция является решением заданного уравнения, а значит, при подстановке этой функции в уравнение оно обращается в верное равенство.

Найдем , и подставим эти производные в уравнение . Имеем

, .

Получили равенство многочленов. Приравнивая коэффициенты при х, имеем ; приравнивая свободные члены, имеем . Таким образом, получили систему уравнений относительно А и B:

Решая эту систему, находим .

Значит, частное решение .

3) Запишем общее решение исходного дифференциального уравнения

.

Ответ: .

Пример 7 Решить дифференциальное уравнение .

Решение

Решение данного линейного неоднородного дифференциального уравнения также ищем в виде .

1) Найдём . Для этого составим и решим однородное уравнение, соответствующее данному:

.

Характеристическое уравнение имеет корни . Поэтому (согласно правилу на странице 53, таблица 3) общее решение однородного уравнения имеет вид

.

2) Найдем частное решение заданного уравнения. Функцию подберем по виду правой части и корням характеристического уравнения.

Правая часть дифференциального уравнения есть функция вида , где – многочлен второй степени, а , причем a не является корнем характеристического уравнения. Значит, эта функция относится к типу II,а) таблицы 4, поэтому частное решение уравнения будем искать в виде

,

где А, В, С – неопределенные коэффициенты.

Найдем эти коэффициенты из условия, что функция удовлетворяет заданному уравнению. Для этого найдем производные:

,

.

Подставим в исходное дифференциальное уравнение вместо у выражение , а вместо у¢¢ – выражение , получим

.

Разделим обе части этого равенства на , получим

.

Раскроем скобки и приведем подобные в левой части равенства

,

в результате имеем

.

Получили равенство двух многочленов. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х многочленов в левой и правой частях равенства, получим систему относительно А, В, С:

Решая эту систему, находим .

Значит, частное решение имеет вид .

3) Тогда общее решение заданного дифференциального уравнения

.

Ответ:

Пример 3.8 Решить дифференциальное уравнение

, .

Решение

Как известно, чтобы найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям, нужно, прежде всего, найти общее решение этого уравнения. Как и в предыдущих примерах, общее решение ищем в виде .

1) Составим и решим линейное однородное дифференциальное уравнение, соответствующее данному: .

Имеем: Þ .

Тогда .

2) Найдем частное решение . Правая часть дифференциального уравнения относится к виду III,a) таблицы 4:

,

где , , , и числа не являются корнями характеристиче­ского уравнения. Следовательно, решение нужно искать в виде

Определим коэффициенты А и В. Для этого находим

,

,

и подставив эти соотношения в исходное дифференциальное уравнение, получим

,

,

,

.

Приравнивая коэффициенты при в левой и правой частях этого равенства, имеем ; приравнивая коэффициенты при , имеем . В результате получим систему уравнений относительно А и В:

Решая эту систему, найдем , . Тогда

.

3) Следовательно, общее решение заданного дифференциального уравнения имеет вид

.

По условию, требуется найти частное решение заданного дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям , а это значит: нужно найти такие значения постоянных , чтобы найденная функция

удовлетворяла этим начальным условиям.

Для этого найдем производную

.

Вычислим и :

,

.

Подставим эти значения в равенства , получим

или

Получили систему уравнений относительно . Решая эту систему, находим . Тогда искомое частное решение заданного дифференциального уравнения имеет вид

.

Ответ: .

В некоторых случаях функция в правой части линейного неоднородного дифференциального уравнения не является функцией «специального вида», но может быть представлена в виде суммы таких функций. Тогда для отыскания частного решения дифференциального уравнения можно использовать «принцип наложения», который заключается в следующем:

Если в уравнении правая часть представляет собой сумму двух функций , а и – частные решения уравнений

и

соответственно, то функция является частным решением исходного уравнения .

Рассмотрим пример.

Пример 9 Решить уравнение .

Решение

1) Найдем общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения:

Þ Þ Þ .

2) Найдем частное решение . Правая часть данного линейного неоднородного дифференциального уравнения не является функцией специального вида (смотри таблицу 4). Однако если преобразовать эту функцию:

,

то ее можно рассматривать как сумму функций и специального вида. Тогда частное решение исходного дифференциального решение исходного дифференциального уравнения также можно найти методом подбора частного решения, используя принцип наложения. Для этого рассмотрим два дифференциальных уравнения:

и

и найдем частное решение каждого из этих уравнений.

а) Для дифференциального уравнения частное решение будем искать в виде

,

так как есть многочлен нулевой степени (число), а число не является корнем характеристического уравнения (случай I,а таблицы 4). Найдем значение параметра М.

Имеем:

, .

Подставим , , в дифференциальное уравнение :

Þ .

Тогда .

б) Частное решение уравнения будем искать в виде

,

так как есть функция вида , где , а характеристическое уравнение не имеет комплексных корней (случай III,а таблицы 4).

Для определения коэффициентов А и В находим

,

.

Подставляя эти производные и функцию в дифференциальное уравнение , получим

,

,

.

Приравнивая коэффициенты при одноименных функциях, получим систему уравнений относительно А и В:

откуда находим . Тогда .

Следовательно, частное решение исходного дифференциального уравнения имеет вид

,

а искомое общее решение –

.

Ответ: .

*) Напомним, что корни квадратного уравнения находят по формуле , где .

*) Количество линейно независимых функций ФСР равно порядку дифференциального уравнения