Знакочередующиеся ряды.

Знакопеременный ряд называется знакочередующимся, если знаки членов ряда чередуются, т.е. ряд имеет вид . Предполагаем, что ряд начинается с положительного члена, .

К знакочередующимся рядам можно применить все теоремы, доказанные выше для знакопеременных рядов. Но есть специальный, очень удобный достаточный признак сходимости знакочередующихся рядов – признак Лейбница (он не является необходимым признаком).

Признак Лейбница.

Пусть

1. ряд имеет вид (знакочередующийся, )

2. последовательность монотонно убывает

3.

Тогда 1) ряд сходится

2)

Доказательство. Рассмотрим последовательность частичных сумм с четными номерами

(последовательность монотонно убывает по условию теоремы).

Т.е. последовательность ограничена сверху .

Т.е. последовательность монотонно возрастает.

По теореме Вейерштрасса существует .

Рассмотрим теперь последовательность частичных сумм с нечетными номерами

.

По условию , т.е. .

По доказанному выше . Следовательно, предел правой части равенства существует и равен . Поэтому предел левой части равенства тоже существует и равен

.

Раскроем определение предела как для четных n, так и для нечетных n. Следовательно, это справедливо для любых , поэтому .

Из доказанного выше неравенства . Переходя к пределу, получим .

Следствие. .Остаток ряда оценивается модулем первого отброшенного члена ряда.

Доказательство. Так как остаток знакочередующегося ряда тоже знакочередующийся ряд, то его сумма по признаку Лейбница оценивается модулем его первого члена.

То есть . А первый член остатка ряда и есть первый отброшенный член.

Пример. Ряд

. Ряд сходится по признаку Лейбница. Ряд из модулей – расходящийся гармонический ряд. Следовательно, ряд сходится условно.