Задача о массе кривой. Криволинейный интеграл 1 рода.
Задача о массе кривой. Пусть в каждой точке кусочно-гладкой материальной кривой L: (AB) задана ее плотность . Определить массу кривой.
Поступим так же, как мы поступали при определении массы плоской области (двойной интеграл) и пространственного тела (тройной интеграл).
1. Организуем разбиение области- дуги L на элементы – элементарные дуги так, чтобы эти элементы не имели общих внутренних точек и (условие А)
2. Отметим на элементах разбиения «отмеченные точки» Mi и вычислим в них значения функции
3. Построим интегральную сумму , где - длина дуги (обычно вводятся одни и те же обозначения для дуги и ее длины). Это – приблизительное значение массы кривой. Упрощение состоит в том, что мы предположили плотность дуги постоянной на каждом элементе и взяли конечное число элементов.
Переходя к пределу при условии (условие В), получим криволинейный интеграл первого рода как предел интегральных сумм:
.
Теорема существования[10].
Пусть функция непрерывна на кусочно-гладкой дуге L[11]. Тогда криволинейный интеграл первого рода существует как предел интегральных сумм.
Замечание. Предел этот не зависит от
- способа выбора разбиения, лишь бы выполнялось условие А
- выбора «отмеченных точек» на элементах разбиения,
- способа измельчения разбиения, лишь бы выполнялось условие В
Дата добавления: 2017-11-21; просмотров: 1265;