Теорема 5. 1 (формула Грина)

Пусть С – положительно ориентированная замкнутая кривая, ограничивающая область D, а функции P(x, y) и Q(x, y) непрерывны вместе со своими производными в области D и на границе C. Тогда имеет место равенство

.

(без доказательства). Это равенство называют формулой Грина.

Пример 3.

Вычислить .

Решение:Здесь Р(х, у) = у, Q(x, y) =(x+1), . Тогда по формуле Грина

.

Здесь мы используем свойство двойного интеграла

Заметим, что если , то

Рассмотрим три случая:

Тогда

Таким образом, с помощью криволинейного интеграла II рода по замкнутому контуру С можно найти площадь области, ограниченной этим контуром:

Справедливо также следующая важная

Теорема 5.2

Если функции P(x, y) и Q(x, y) непрерывны вместе со своими производными в области D и , то следующие утверждения эквивалентны:

1. для любого замкнутого контура ;

2. - не зависит от пути интегрирования АВ, а зависит только от начальной А и конечной В его точек и обозначается: . Условие при этом называют условием независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.

3. существует функция и(х,у) такая, что а и тогда

.

Доказательство первого из этих утверждений легко следует из формулы Грина. Доказательство второго из этих утверждений проведите или изучите самостоятельно.

Третье утверждение рассмотрим без доказательства. Отметим только его важный смысл: равенство , по существу, представляет аналог формулы Ньютона-Лейбница для криволинейного интеграла второго рода. Если при этом А(х₀, y₀) – некоторая фиксированная точка, а В(x, y) – текущая точка области D, то

,

что означает аналог теоремы Барроу, где С = - u(х₀, y₀). Таким образом, если по известному дифференциалу функции двух переменных требуется найти функцию u(х, y), нужно вычислить криволинейный интеграл второго рода от выражения du по любому пути, соединяющему произвольную фиксированную точку (х₀, у₀) области определения функций и текущую точку (х, у). Очевидно, такие функции определяются с точностью до константы.

Пример 4.

Вычислить

Так как P = x+2y, Q = y+2x – непрерывные функции, – тоже непрерывные и выполняется условие , то интеграл не зависит от вида кривой, а зависит только от точек (1, 1) и (3, 5). Значит, можно выбрать любую линию, их соединяющую.

Рассмотрим ломанную АСВ, где С (3, 1), со звеньями, параллельными осям координат. Тогда

Но АС: y = 1, dy = 0, x Î [1, 3],

CB: x = 3, dx = 0, y Î [1, 5].

Тогда

Рассмотрим прямую АВ: 2(x-1) = (y-1), откуда

y = 2x-2+1, y = 2x-1, а dy = 2dx. Тогда

.

Пример 5.

Найти функцию U(x,y) по ее дифференциалу

dU = ( x⁴+ 4xy³)dx + (6x³y² - 5y⁴)dy.

Решение:Убедимся в том, что для P=x⁴+4xy³ и Q=6x³y²-5y⁴ выполняется условие .

Тогда

= ,

где .

Если взять (х₀, y₀)= (0, 0), получим:

.

В случае функции 3-х переменных и пространственной кривой L, условия независимости интеграла от пути интегрирования (или того, что есть дифференциал некоторой функции) имеют вид:

Пример 6.

Вычислить .

Решение:Здесь , , значит, данный криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования, в только от начальной (0, 0, 0) и конечной (2, 3, 4) точек. Возьмем, например отрезок прямой, соединяющей эти точки, его уравнения

.

Тогда