Статические моменты и центр тяжести

Статическими моментами называют следующие интегралы (рисунок 1):

Рисунок 1.

Пусть известны статические моменты относительно осей , параллельных осям , но смещенных на расстояния и .

Найдем статические моменты относительно осей :

Расстояния и можно подобрать так, чтобы было . Ось, относительно которой статистический момент равен нулю, называется центральной осью. Расстояние от произвольных осей и до центральных осей определяется по формуле

, (1)

и называют координатами центра тяжести сечения. Отсюда следует, что статический момент относительно любой оси можно вычислить как произведение площади на расстояние от оси до центра тяжести сечения:

(2)

Если сечение имеет ось симметрии, то центр тяжести всегда лежит на этой оси. Для определения центра тяжести сложные сечения разбивают на простейшие фигуры.

Моменты инерции

Моменты инерции сечения определяются так (рисунок 1):

. (3)

называются осевыми моментами инерции,

центробежным моментом.

Если исходные оси центральные, то при параллельном переносе осей (рисунок 1) моменты инерции изменяются на величину, равную произведению площади на квадрат расстояния между осями

(4)

Оси, относительно которых центробежный момент равен нулю, называются главными осями. Главные оси всегда проходят через центр тяжести, (являются центральными) и положение их определяется по формуле

. (5)

Здесь угол наклона главных осей к исходным осям . Если сечение имеет ось симметрии, то главная ось совпадает с ней, а вторая главная ось проходит перпендикулярно ей через центр тяжести.

Моменты инерции относительно главных осей называются главными моментами. Относительно главных осей осевые моменты экстремальны ( ), а центробежный момент равен нулю ( ).