Первая задача Циолковского
В качестве иллюстрации применения уравнения Мещерского рассмотрим поступательное прямолинейное движение ракеты под действием одной лишь реактивной силы, предполагая, что ракета движется вне поля тяготения и не встречает сопротивления среды. Пусть относительная скорость отделения частиц будет постоянна и направлена противоположно скорости ракеты (рис. 47). Определим скорость, достигаемую ракетой по окончании процесса сгорания горючего.
Рис. 47
Составим уравнение движения ракеты, используя уравнение (7.6), которое в рассматриваемом случае ( ) примет вид:
.
Проектируя правую и левую части этого уравнения на направление скорости (рис. 47), получим:
или
.
Интегрируя это уравнение, найдем:
, (7.7)
где С – постоянная интегрирования.
Пусть в начальный момент (t = 0) масса М = М0, а скорость , тогда при t = 0 находим:
,
отсюда
.
Подставляя это значение постоянной в выражение (7.7), получим:
. (7.8)
Обозначим через Мк постоянную массу корпуса ракеты со всем оборудованием, а через Мг – всю переменную массу горючего. Тогда, очевидно, , а масса ракеты, когда все горючее будет израсходовано, будет равна Мк. Подставляя эти значения в выражение (7.8), получим:
. (7.9)
Соотношение (7.9) представляет собой формулу Циолковского. Она определяет скорость ракеты, когда все ее горючее израсходовано, то есть скорость в конце так называемого активного участка.
Из соотношения (7.9) следует, что скорость ракеты в конце активного участка зависит от:
· начальной скорости ракеты ;
· относительной скорости отбрасывания от ракеты частиц ;
· относительного запаса горючего – числа Циолковского.
При этом скорость ракеты в конце активного участка не зависит от закона расхода топлива.
Из соотношения (7.9) также видно, что для увеличения скорости ракеты необходимо увеличивать , , , причем увеличение и предпочтительнее, чем увеличение .
При запуске спутников, космических кораблей для увеличения и числа Циолковского (за счет уменьшения Мк) применяется многоступенчатая ракета, ступени которой по мере израсходования содержащегося в них горючего автоматически отделяются от последней ступени, получающей в результате дополнительную начальную скорость и уменьшение Мк. Что касается увеличения и , то оно связано с видом горючего и конструкцией ракеты.
Дата добавления: 2016-06-05; просмотров: 2173;